设m为正整数,X为所有[a,b]上的纯量函数x,使得x的m-1阶导数x(m-1)在[a,b]上为绝对连续的且x的m阶导数x(m)属于L2[a,b]。若x,y∈X,令
求证:
(a)上式定义了X上的一个内积且在这个内积意义下X为Hilbert空间。
(b)Cm[a,b]在X为稠密的。
设A是n阶实对称正定矩阵,则由格式(2.21)得到的向量序列{r(k)}和{z(k)}满足
[r(k),z(k-1)]=0,[r(k),r(l)]=0,[z(k),Az(l)]=0(k≠l).(2.22)
令n=2m+1,m为正整数。试证明A=(aij)是对称幂等的n阶拉丁方。其中
aij=(m+1)×(i+j) (modn的运算)
设A为n阶正矩阵,若存在某个x∈Cn,x≥0,x≠0,Ax=λx,试证x为Perron向量的倍数且λ=γ(A).
若A为n阶对称矩阵,f(X)=X'AX,则A为f(X)的矩阵.
若A为任意矩阵,且f(X)=X'AX,则A为f(X)的矩阵?
A.A的任意m个列向量必线性无关
B.A的任意一个m阶子式不等于零
C.若矩阵B满足BA=0,则B=0
D.A通过行初等变更,必可以化为(Em,0)的形式
试证明:
(i)设且m(E)>1,则E中存在两点:P1=(x1,y1),P2=(x2,y2),其中x2-x1∈Z,y2-y1∈Z(Z是整数集).
(ii)设是以原点(0,0)为中心的对称凸集,且m(S)>22,则S包含整数格点P=(x,y)≠(0,0).此外,又若存在n0∈N,使得m(S)>n0·22,则S至少包含2n0个整数格点.
设A∈Cm×n,rank(A)=γ,若有m阶可逆矩阵P和n阶置换矩阵Q,使得
,S∈C(n-γ)(m-γ).试证:对任给L∈C(n-γ)(m-γ),矩阵
是A的一个广义逆,若L=0,则相应的G是A的一个自反广义逆.