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[主观题]

设x是区间[0，1]上所有复值函数全体按通常方式定义线性运算所构成的线性空间．在X上定义 Pt（x)=|x（t)| （t∈[0

设x是区间[0，1]上所有复值函数全体按通常方式定义线性运算所构成的线性空间．在X上定义

P_t(x)=|x(t)| (t∈[0，1]，x∈X)，证明{P_t}是X上的半范数族且满足 $设x是区间[0，1]上所有复值函数全体按通常方式定义线性运算所构成的线性空间．在X上定义 Pt（x$ x≠θ有 $设x是区间[0，1]上所有复值函数全体按通常方式定义线性运算所构成的线性空间．在X上定义 Pt（x$ p_t(x)＞0，并且由{p_t}定义的X上的局部凸拓扑是不可赋范的．

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第1题

若T是非空集合，X是由T上所有有界复值函数x且赋有上确界范数‖·‖∞组成的复赋范线性空间。设t∈T，证明：

若T是非空集合，X是由T上所有有界复值函数x且赋有上确界范数‖·‖_∞组成的复赋范线性空间。设t∈T，

证明：

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第2题

（1)设B是一个集，A是B上的实函数全体，当a，b∈A，而且对每个t∈T有a（t)≤b（t)，那么A按此顺序也成为半序集。（2)设

(1)设B是一个集，A是B上的实函数全体，当a，b∈A，而且对每个t∈T有a(t)≤b(t)，那么A按此顺序也成为半序集。

(2)设A是所有实数对(x，y)全体，规定两对

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第3题

设函数f（x)连续，g（x)满足局部Lipschitz条件，证明方程组用改进的EuIer方法求下列初值问题在区间

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第4题

设X是在（t：|t|≤1)上连续的复函数x（t)的全体，在其中定义 d（x，y)=|x（t)-y（t)|证明（X，d)是度量空间．

设X是在(t：|t|≤1)上连续的复函数x(t)的全体，在其中定义

d(x，y)=|x(t)-y(t)|证明(X，d)是度量空间．

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第5题

对所有s∈，t∈，定义us（t)=eist，设X是这些函数us的全体有限线性组合所组成的复线性空间．若f∈X，g∈X，证明＜f，g＞=

对所有s∈，t∈，定义u_s(t)=e^ist，设X是这些函数u_s的全体有限线性组合所组成的复线性空间．若f∈X，g∈X，证明＜f，g＞=存在．说明这个内积使X成为一个内积空间，其完备化空间H是一个不司分的Hilbert空间，并证明{u_s：s∈}是H的一个极大规范正交集．

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第6题

设k（s，t)为单位正方形[0，1]×[0，1]上的平方可积函数。若x∈L2[0，1]，令，0≤s≤1 求证：A定义了L2[0，1]上的有界线

设k(s，t)为单位正方形[0，1]×[0，1]上的平方可积函数。若x∈L²[0，1]，令

，0≤s≤1

求证：A定义了L²[0，1]上的有界线性算子且

(a)若任取(s，t)有，则A为自伴的。

(b)A为正规的若

(17)

对所有(s，t)成立。

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第7题

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的解.求所有使得对任意初始函数φ∈C([0，1])，φ(0)=φ(1)=0成立

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第8题

设X是完备距离空间，是X上连续复值函数的集合。证明或者（i)存在 X的稠密子集D使得或者（ii)存在X中非空

设X是完备距离空间，是X上连续复值函数的集合。证明或者(i)存在

X的稠密子集D使得

或者(ii)存在X中非空开球U使得

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第9题

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第10题

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设X是有单位元e的复Banach代数．证明：σ(x)作为X上的集值函数是上半连续的：对点a∈X及中0的任意邻域V，存在B(a，δ)使x∈B(a，δ)有σ(x)σ(a)+V．

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第11题

称数为函数f（x)及g（x)于闭区间[a，b]上的绝对偏差．确定函数f（x)=x2及g（x)=x3于闭区间[0，1]上的绝对偏差．

称数

为函数f(x)及g(x)于闭区间[a，b]上的绝对偏差．确定函数f(x)=x²及g(x)=x³于闭区间[0，1]上的绝对偏差．

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