设ΩC为开区域(即连通开集),X为复Banach空间.若x(t):Ω→X在Ω处处可导,则称x(t)在Ω上解析.若任意f∈X*,f(x(t))
设ΩC为开区域(即连通开集),X为复Banach空间.若x(t):Ω→X在Ω处处可导,则称x(t)在Ω上解析.若任意f∈X*,f(x(t))为Ω上通常解析函数,则称x(t)在Ω上弱解析.证明Dunford定理:x(t)在Ω上解析当且仅当x(t)在Ω上弱解析.
设ΩC为开区域(即连通开集),X为复Banach空间.若x(t):Ω→X在Ω处处可导,则称x(t)在Ω上解析.若任意f∈X*,f(x(t))为Ω上通常解析函数,则称x(t)在Ω上弱解析.证明Dunford定理:x(t)在Ω上解析当且仅当x(t)在Ω上弱解析.
设X是连通的拓扑空间,C*(X)是X上连续复函数之集,是C*(X)中的一个等度连续函数之集.若对某个x0∈X,复数集{f(x0):f∈}有界,证明对每个x∈X,{f(x):f∈}都是有界的.
设Ω为开集,t0∈Ω,x(t):Ω→Lp[a,b],1<p<∞.证明x(t)=x(t)(s)(s∈[a,b])在t0弱连续的充要条件是‖x(t)‖在t0的某邻域内有界,且对每个η∈[a,b],
设n>2,为开集,且
.
证明:在满足f(x0)=0的点x0处,rankf'(x0)<2.但是由方程f(x)=0仍可能在点x0的邻域内确定隐函数.
设是开集,f:D→Rn,而且适合
ⅰ) f在D上可微,且f'连续;
ⅱ) 当x∈D时,detf'(x)≠0,
则f(D)是开集.
设是紧集,{Gk}是K的开(球)覆盖,试证明存在ε0>0,使得对任意的x∈K,B(x,ε0)必含于某个Gk中.
记R2中以(x,rx)为中心的开圆为Bx,其中x∈R2,rx为正有理数,且令点集
,.
试证明不论如何选择rx,总有.
设X为赋范空间,Ω是X的有界开凸子集,θ∈Ω,T:→X为全连续算子,为Ω的边界.若下列条件之一满足:
设Ω为开集,£。∈n,z(t):以一l’,1<p<。。.证明,27(£)一{xn(t)}在t0弱可导的充要条件是:
(1)存在正的常数δ与M,使得当0<|h|≤δ时有≤M
(2)每个分量函数xn(t)都在t0可导.
设X为Banach空间,A,B∈BL(X)。求证:σ(AB)与σ(BA)最多相差{0}。