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[主观题]
算子A称为幂零的若存在正整数m使得Am=0。试求复Banach空间X上幂零算子的谱。
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设X为Banach空间，A∈BL(X)，对某个正整数m有‖Am‖＜1。求证：I-A在BL(X)中可逆。由此推出若‖A‖＜|k|。则
设A为Hilbert空间H上的非零紧算子。求证：存在有限或无限单调下降的正数列{αn}，存在H的标准正交序列{un}和{vn}使得
设{un：α∈L}为Hilbert空间H的标准正交基。设A∈BL(H)使得
求证：
(a)
(b)若{vi：i∈J}为H的另一标准正交基，则
(c)A为紧算子。
[使(11)成立的算子称为Hilbert-Schmidt算子。]
设m为正整数，X为所有[a，b]上的纯量函数x，使得x的m-1阶导数x(m-1)在[a，b]上为绝对连续的且x的m阶导数x(m)属于L2[a，b]。若x，y∈X，令
求证：
(a)上式定义了X上的一个内积且在这个内积意义下X为Hilbert空间。
(b)Cm[a，b]在X为稠密的。
A.A的任意m个列向量必线性无关
B.A的任意一个m阶子式不等于零
C.若矩阵B满足BA=0，则B=0
D.A通过行初等变更，必可以化为(Em,0)的形式
设S和T是Hilbert空间H中使得ST在H中稠定的线性算子．证明(ST)*
试证明：
设fn(x)(n=1，2，…)是R1上的递增函数，若存在M＞0，使得|fn(x)|≤M(n∈N，x∈R1)，则存在R1上的函数f(x)以及{nk}，使得
设H为复Hilbert空间，W为所有BL(H)中自伴算子之集，W1为BL(H)中所有酉算子B之集使得
U(A)=(A-iI)(A+iI)1
求证：U为从W到W1的一一映射，其逆由下式给出：
U-1(B)=i(I+B)(I-B)-1， B∈W1
[U(A)被称为A的Cayley变换。]
设H为Hilbert空间，A∈BL(H)。设存在非零纯量列{cn}及非零正交投影列{Pn}使得：任取n≠m有PnPm=0，
cn→0，每一个R(Pn)都为有限维子空间。求证：
(a)A为紧正规的。
(b){cn}为A不同的特征值的全体。
(c)R(Pn)为对应于cn的特征空间。
设X是Banach空间，Y是赋范空间，对n，m=1，2，…。设Fmn∈BL(X，Y)若对每个m≥1，存在X中的xm使得
证明存在X中的x使得
