试证明: 对x∈Rn-1(n>1),t∈R1,记(x,t)为 (x,t)=(x1,x2,…,xn-1,t)∈Rn. 设E是Rn-1中可测集,h>0,点集 A={(α
试证明:
对x∈Rn-1(n>1),t∈R1,记(x,t)为
(x,t)=(x1,x2,…,xn-1,t)∈Rn.
设E是Rn-1中可测集,h>0,点集
A={(αz,αh):z∈E,0≤α≤1}
是以E为底、高为h且顶点为0的锥,则.
试证明:
对x∈Rn-1(n>1),t∈R1,记(x,t)为
(x,t)=(x1,x2,…,xn-1,t)∈Rn.
设E是Rn-1中可测集,h>0,点集
A={(αz,αh):z∈E,0≤α≤1}
是以E为底、高为h且顶点为0的锥,则.
试证明:
设对于每个x∈[0,1]均存在点集:m(Ix)≥1/2,以及二元可测函数
则存在t*∈[0,1],:m(E)≥1/2,使得f(x,t*)=1(x∈E).
试证明:
试作I=[0,4π]上的递减函数g(x),使得对任意的t∈R1,有
m({x∈I:sinx>t})=m({x∈I:g(x)>t}).
试证明:
设f∈C([a,b]),是可数集.若对任意的x∈[a,b)\D,均存在δ>0,使得f(t)>f(x)(x<t<x+δ),则f(x)是严格递增函数.
试证明:
设fn∈C([0,1])(n∈N),且有
(0≤x≤1),fn(x)≥fn+1(x)(n∈N),则(对x∈[0,1]一致).
试证明:
设f∈C([0,∞))∩L([0,∞)),且是正值递减函数,则
当且仅当对t>0有f(x+t)/f(x)→0(x→+∞).
试证明:
设f(x,t)定义在(a,b)×(a,b)上,且对取定的t∈(a,b),f(x,t)是x在(a,b)上的连续可微函数;对取定的x∈(a,b),f(x,t)是t在(a,b)上的连续函数,若存在F∈L((a,b)),使得|f'x(x,t)|≤F(t),则在(a,b)上可微,且有.
试证明:
设f∈C([a,b]),φ∈C([a,b]),F∈L([a,b]),且对x∈[a,b],有
,φn∈C(1)([a,b]) (n∈N),
,
|f(x)φn(x)|≤F(x) (n∈N,x∈[a,b]),则φ'(x)=f(x)φ(x),x∈[a,b].
试证明对于一列谐波,其空间上的重复性[ψ(x,t)=ψ(x±λ,t)],要求k=2π/λ。
设u(x,t),(x,t)∈,是柯西问题
的解,并且对于|x|≥1,φ(x)=ψ(x)=0.
证明:对任意的x0存在这样的数t0与c,使得对所有的t≥t0有u(x0,t)=C.求出这些数.
设Ω为开集,t0∈Ω,x(t):Ω→Lp[a,b],1<p<∞.证明x(t)=x(t)(s)(s∈[a,b])在t0弱连续的充要条件是‖x(t)‖在t0的某邻域内有界,且对每个η∈[a,b],