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设x(t)是微分方程
x"+2mx'+n2x=0， x(0)=x1， x'(0)=x2的解，其中m＞n＞0,证明
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证明Banach空间X上的微分方程
设X是Banach空间，
，α∈
r(αT)=|α|r(T)，r(Tn)=[r(T)]n．
设u(x，t)是柯西问题
的解，并且其中ψ(x)≥0．对哪些n∈{1，2，3)，如下断言成立：如果集合{x∈
设{Tt：t≥0}是C0[0，∞)上的平移半群，即
(Ttx)(s)=x(s+t)，t≥0，x∈C0[0，∞)．证明
设t0∈[a，b]，对n=1，2，…，设yn∈C[a，b]满足
yn(t)≥0，t∈[a，b]，
yn(t)=0，|t-t0|﹥1/n
设x'n及x'定义在C[a，b]上为
x'(x)=x(t0)， x∈C[a，b]
求证
设
是复希尔伯特空间，{αn}是实数列且
Tx=y:ηn=αnξn， n=1，2，…，
其中x=(ξ1，ξ2，…，ξ3，…)，y={η1，η2，…，ηn…}．证明：σ(T)等于{αn}的闭包，每个αn是T的特征值，且T的谱族{Eλ]由下式给出：
中混合问题
的解．求
