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[主观题]

试证明: 设且m(E)=1,f(x)在E上正值可积,且记,则 .

试证明:

试证明:  设且m(E)=1,f(x)在E上正值可积,且记,则  .试证明:    设且m(E)=1且m(E)=1,f(x)在E上正值可积,且记试证明:  设且m(E)=1,f(x)在E上正值可积,且记,则  .试证明:    设且m(E)=1,则

试证明:  设且m(E)=1,f(x)在E上正值可积,且记,则  .试证明:    设且m(E)=1.

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第1题
设且m(E)=0,试证明存在[a,b]上是连续且单调上升的函数f(x),使得f'(x)=+∞,x∈E.

且m(E)=0,试证明存在[a,b]上是连续且单调上升的函数f(x),使得f'(x)=+∞,x∈E.

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第2题
试证明: 设且m(E)>0,则存在a>0,使得 (x|<a).

试证明:

且m(E)>0,则存在a>0,使得

(x|<a).

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第3题
试证明: 设定义在R1上的函数列{fn(x)}满足(λn>0,n∈N) (En={x∈R1:|fn(x)|/λn>1}), 则存在且m(Z)=0,使得

试证明:

设定义在R1上的函数列{fn(x)}满足(λn>0,n∈N)

(En={x∈R1:|fn(x)|/λn>1}),

则存在且m(Z)=0,使得(x∈R1\Z).

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第4题
试证明: 设且m(A)>1/2,则A包含一个子集A0:m(A0)>0,且A0关于点x=1/2是对称的.

试证明:

且m(A)>1/2,则A包含一个子集A0:m(A0)>0,且A0关于点x=1/2是对称的.

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第5题
试证明: 设是可测集,若有 m(Ex)=m({y:(x,y)∈E})≤1/2,a.e.x∈[0,1],则m({y:m(Ey)=1})≤1/2.

试证明:

是可测集,若有

m(Ex)=m({y:(x,y)∈E})≤1/2,a.e.x∈[0,1],则m({y:m(Ey)=1})≤1/2.

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第6题
试证明: 设f(x)在R1上可测,φ:(0,∞)→(a,∞) (a>0)且是递增函数,则 .

试证明:

设f(x)在R1上可测,φ:(0,∞)→(a,∞) (a>0)且是递增函数,则

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第7题
试证明: 设,则f:R1→R1在E上的图形集 Gf={(x,y):y=f(x),x∈E} 是Gδα曲集.

试证明:

,则f:R1→R1在E上的图形集

Gf={(x,y):y=f(x),x∈E}

是Gδα曲集.

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第8题
设f∈R(c,d]),g(x)在[a,b]上连续且严格单调,R(g)=[c,d].若g-1(y)在[c=g(a),d=g(b)]上绝对连续,试证明f(g)∈R(

设f∈R(c,d]),g(x)在[a,b]上连续且严格单调,R(g)=[c,d].若g-1(y)在[c=g(a),d=g(b)]上绝对连续,试证明f(g)∈R([a,b]).

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第9题
试证明: 设,且令,则f(x)<+∞,a.e.x∈[0,1].

试证明:

,且令,则f(x)<+∞,a.e.x∈[0,1].

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第10题
试证明: 设f∈C([0,∞))且f(x)→l(x→+∞),则对任意的A>0,有 .

试证明:

设f∈C([0,∞))且f(x)→l(x→+∞),则对任意的A>0,有

.

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第11题
试证明: 设.若对任意的x∈R1,均有m(E△(E+{x}))=0,则 (i)m(Ec△(Ec+{x}))=0(x∈R1); (ii)m(E)·m(Ec)=0.

试证明:

.若对任意的x∈R1,均有m(E△(E+{x}))=0,则

(i)m(Ec△(Ec+{x}))=0(x∈R1);

(ii)m(E)·m(Ec)=0.

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