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(如图所示)设A，B，C是不共线的3点，它们决定一平面Ⅱ，则点P在Ⅱ上的充要条件是存在唯一的数组(λ，μ，γ)，)使得
其中O是任意的一点，P在△ABC内的充要条件是*与λ≥0，μ≥0，γ≥0同时成立。
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由4个点S，F，O，E(其中任意3点不共线)和由它们两两相连的6条直线构成的图形叫做完备四边形(如图所示)，证明：两个点C，D调和分割两个点A，B。
在射影平面P2(R)上，设共线3点A[(1，2，5)]，B[(1，0，3)]，C[(-1，2，-1)]，在直线AB求一点D，使R[(A，B；C，D)]=5。
如图所示为皮带传动装置，主动轮O1上两轮的半径分别为3r和r，从动轮O2的半径为2r，A、B、C分别为轮缘上的3点。设皮带不打滑，则A、B、C三点的角速度之比ωA:ωB:ωC=______，A、B、C三点的线速度大小之比νA:νB:νC=______。
(1)求1点和2点处的渗透动水压强各等于多少？(2)3点处网格的渗流速度u3为多少时，通过4点处的渗流速度是否和3点相同？如不同，则u4为多少？(3)如果下游不设置板桩，其逸出速度是否改变？如何改变？此时会发生管涌现象吗？
在射影平面上，△ABC的顶点A，B，C依次在交于一点D的3条不同直线l1，l2，l3上移动，直线AB和BC依次通过定点P和Q，已知3点D，P，Q不共线，证明直线CA通过直线PQ上的一个定点。
已知A，B，C3点的齐次坐标依次是[(2，3，-2)]，[1，2，-4]，[(1，1，2)]，求证：这3点A，B，C共线，并且求实数λ和μ使得(2，3，-2)=λ(1，2，-4)+μ(1，1，2)。
叙述射影几何P(R4)中下列命题的对偶命题： (1)任意不共线的三点确定唯一平面； (2)任意n条直线(n≥3)，如果它们两两相交，则必在同一平面内； (3)设不共面的两条直线6和c都不通过点A，求作一条过A的直线，它与b和c都相交；
在射影平面上，设A，B，C，D，E是共线的5个点，且两两不同，证明
R(A，B；C，D)·R(A，B；D，E)·R(A，B；E，C)=1
设A，B，C是不同的共线点，在射影变换(P)
(P′)里，A，B，C分别对应B，C，A，求证此射影变换是椭圆型射影变换．
