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上题中，如二粒子间有微弱相互作用(当作微扰)
H'=V12=Aδ(x2-x1)=Aδ(x) (1)
求体系的最低三个能级的一级微扰修正．
一个均匀加宽工作物质具有由E1、E2、E3组成的三能级系统，三个能级的统计权重相等。E1为基态，E3及E2能级的寿命分别为τ3及τ2，E3→E2能级的弛豫速率为1/τ32中心频率发射截面为σ32。泵浦光频率与E1、E2间跃迁相应，它引起的受激辐射几率W12=W21=Wp。泵浦光将粒子由基态激发到E2能级，使E2和E3能级上粒子数密度之差△n23=n2-n3增加，从而形成一个光泵吸收体(由于热平衡下，各能级的粒子数呈玻耳兹曼分布，无泵浦时n2也大于n3，但由于E2-E1
kbT，E3-E1
kbT，故无泵浦时△n23≈0，因此对频率与E3-E2跃迁相对应的光无明显的吸收作用)。若有频率恰为E3-E2跃迁谱线中心频率
的光入射，试求：
作一维自由运动的二粒子体系，粒子质量m1=m2=m，粒子间无相互作用，也无外力作用．以x1、x2表示粒子1、2的坐标，X、x表示质心坐标和相对坐标，
以p1、p2表示粒子1、2的动量算符，P、p表示总动量与相对动量算符，
体系的Hlamilton量为
其中
M=2m，
分别为总质量与折合质量．式(2)是p1、p2在(x1，x2)表象中的算符表示，式(3)是P、p在(X，x)表象中的算符表示．
体系的力学量完全集由一组对易算符构成，可以选(x1，x2)、(X，x)、(p1，p2)、(P，p)、(x，P)、(X，p)等等．
作为一维铁磁体的简化模型，考虑自旋为
试证明(a)总自旋
为守恒量；(b)在体系的基态下，相邻粒子之间必然构成自旋三重态(自旋指向互相“平行”)．讨论基态能级的简并度．
两个质量相同(m1=m2=m)的粒子，同在一维谐振子势场中运动．如忽略二粒子间相互作用，则体系的总能量算符为
H=H1+H2=T1+T2+V1+V2
(1)
计算两两之间的具有“反铁磁”相互作用
，i，j=1，2，3或铁磁相互作用J＜0的三个1/2自旋粒子的基态能量，讨论其简并度．
