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设A的特征值λi(i=1，2，…，n)，满足
λ1=-λ2＞|λ3|≥|λ4|≥…≥|λn|，
且它们对应的特征向量Xi(i=1，2，…，n)线性无关，0＜μ＜λ1-|λ3|．试证：对于适当选取的初始向量v0，用B=A+μE作幂法迭代得到的向量序列{vk}按方向收敛到X1．
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设λ是An×n(n＞1)的任一特征值，则λ位于某个
Ωii={z|z∈C，|z-aii|z-ajj|≤RiRj} (i≠j；i，j=1，2，…，n)之中，称Ωij，(i≠j)为A的Cassini卵形．
设Am×m的特征值为λ1，λ2，…，λm，Bn×n的特征值为μ1，μ2，…，μn，则方程(6.1)有唯一解的充要条件是λi+μj≠0(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)．
AX+XB=F (6.1)
设X为Banach空间，A∈BL(X)，A≠0。求证：A为有限秩的当且仅当存在X中线性无关的元{x1，x2，...,xn}，X'中线性无关的元{x'1，x'2，…，x'n)使得
由此推出A的非零特征值为矩阵(kij)特征多项式非零根的全体，其中对i，j=1，2，…，n，kij=x'i(xj)
对于定义的矩阵B(i=1，2，…，n)，证明：
(1)
(2)Bi的特征值只能是0或者1；
(3)利用(2)的结果说明‖Bi‖2=1．
用归纳法证明推广的勾股定理：设fi∈R2π(k＝1，2，…，n)，且＜fi，fj＞＝0，(i≠j；i，j＝1，2，…，n)，则 ‖f1＋f2＋…＋fn‖2＝‖f1‖2＋‖f2‖2＋…＋‖fn‖2
(i=1，2，…，n)，则 (1)A可逆； (2)
