题目内容
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[主观题]
对R3中定向光滑的2维闭曲面M，如果设为2维紧致、定向、连通的凸曲面，且M的平均曲率H=常数，则M为一个
设
为2维紧致、定向、连通的凸曲面，且M的平均曲率H=常数，则M为一个球面；
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为2维紧致、定向、连通的凸曲面，且M的平均曲率H=常数，则M为一个球面；
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更多“对R3中定向光滑的2维闭曲面M，如果设为2维紧致、定向、连通…”相关的问题
设M为R3中的2维紧致、光滑、连通曲面，H为其平均曲率，则
其中等号成立
M为一个球面．
对于R3中2维定向的闭曲面(紧致、无边的曲面)，有
其中M+={P∈M｜KG(P)≥0)，g=g(M)为曲面M的亏格．
R3中一个2维紧致曲面M的洞(窟窿)数称为它的亏格．R3中亏格为g的2维、紧致、定向、连通曲面的Euler-P0incae示性数X(M)为2(1一g)，即X(M)=2(1一g)．进而，立知R3中2维紧致、定向、连通曲面M的Euler-Poincare示性数总是2，0，一2，一4，…，一2n，…中的一个．
C1曲面MC R3，它为可定向曲面
M上存在一个连续的单位法向量场．引理3．1．1是此题的高维推广，其证明参阅[7]第183页定理2或[8]第328页定理11．2．1
设M为R3中的C4正则曲面，x(u1，u2)为其参数表示，P0∈M，且满足：(1)KG(P)＞0，即P0点的Gauss(总)曲率为正的；(2)在P0点，函数k1达到极大值，同时函数k2达到极小值，则P0为M的脐点．这和以下条件等价：设M为R3中的C4正则曲面，x(u1，u2)为其参数表示，P0∈M，且满足：(1’)P0为非脐点；(2’)在P0点，函数k1达极大值，同时函数k2达极小值．则KG(P0)≤0．
为KG＞0的2维紧致、定向、连通的曲面，且
，则M为球面．
则M同胚于球面，且它的Gauss曲率KG≥0．
