设(X,,μ)是测度空间,μ是有限正测度.若A,B∈,则将几乎处处相等的集视为同一个集,定义ρ(A,B)=|χA-χB|dμ=μ(AΔB)
设(X,,μ)是测度空间,μ是有限正测度.若A,B∈,则将几乎处处相等的集视为同一个集,定义ρ(A,B)=|χA-χB|dμ=μ(AΔB),其中AΔB=(A\B)∪(B\A),χA与χB分别为A与B的特征函数.
设(X,,μ)是测度空间,μ是有限正测度.若A,B∈,则将几乎处处相等的集视为同一个集,定义ρ(A,B)=|χA-χB|dμ=μ(AΔB),其中AΔB=(A\B)∪(B\A),χA与χB分别为A与B的特征函数.
设(X,,μ)与(Y,,λ)是σ-有限的测度空间.设是上的测度使(A×B)=μ(A)λ(B)对每个A∈与B∈成立,证明=μ×λ.
设X为上赋范空间,Ω,为完备的有限测度空间,证明x=x(t):Ω→X可测的充要条件是它为一列有限值函数(可测的简单函数)几乎处处收敛的极限.
设V是中的非空开集,μ是上的正则的有限正Borel测度,令f(x)=μ(V+x),x∈.则函数f必定连续吗?必定下半连续吗?必定上半连续吗?
设(X,)是可测空间,λ,μ是上的测度(可以是正测度,带号测度或复测度).若对每个E∈,μ(E)=0蕴涵λ(E)=0,则记为λμ.若存在A,B∈,,使|λ|(Ac)=0且|μ|(Bc)=0,则记为λ⊥μ(或μ⊥λ).证明:
(X,)是可测空间,μ是(X,)上的有限实测度,A∈.若,EA,有μ(E)≥0,则称A为正集.若,EA,有μ(E)≤0,则称A为负集.证明下述的Hahn分解定理:
存在正集A+和负集A-使,A+∪A-=X,且对,有
μ+(E)=μ(A+∩E),μ-(E)=-μ(A-∩E).
这里X的分解(A+,A-)称为μ的Hahn分解.
设μ是X上的正测度,f:X→[0,∞],f∈L1(μ),Ek={x∈X:f(x)≥k},其中k∈.证明
设f是X上的复可测函数.μ是X上的正测度并且
设E={p:φ(p)<∞},并假设‖f‖∞>0.