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（请给出正确答案）
考虑谐振子升、降算符a+、a的线性变换
b=λa+νa+， b+=νa+λa+(1)
λ、ν为实数，并满足关系λ2-ν2=1．试证明：对于算符b的任何一个本征态，△x·△p=h/2．
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从谐振子升、降算符的基本对易关系
[a，a+]=1 (1)
出发，证明
(λ为参数)对于λ＞0，计算
进而讨论算符a+a的本征值谱．
简谐振子的Hamilton量
如下定义升、降算符
其中
．则Hamilton量写为
．粒子初态处于相干态|z〉(a|z〉=z|z〉)．试在Heisenberg图像求解，求a、
设有两个独立的谐振子(即两类声子)组成一个体系，以n1、n2分别表示二者的量子数(声子数)，以
即令
再令
(2)
试证明这样定义的算符满足角动量算符的全部代数性质，并求出J2、Jz的本征值和共同本征态．
对于三维各向同性谐振子，径向方程，势函数
已取
。上式可改写成
D(l)χl(r)=λlχl(r) (9.10)
其中
试证明
A-(l+1)A+(l)=D(l)+(2l+3)，
A+(l-1)A-(l)=D(l)+(2l-1)，
B-(l+1)B+(l)=D(l)-(2l+3)，
B+(l-1)B-(l)=D(l)-(2l-1)，
以及
D(l)[A+(l-1)χl-1]=(Al-1+2)[A+(l-1)χl-1]，
D(l)[A-(l+1)χl+1]=(Al+1-2)[A-(l+1)χl+1]，
D(l)[B+(l-1)χl-1]=(Al-1-2)[B+(l-1)χl-1]，
D(l)[B-(l+1)χl+1]=(λl+1+2)[B-(l+1)χl+1]．
由此阐明算符A+(A-)的作用是使角动量量子数l增(减)1，能量减(增)1，而B+(B-)的作用是使角动量量子数l增(减)1，但能量增(减)1．
考虑一个玻色子体系，其单粒子态记为α、β、…，各态中粒子数记为nα，nβ，…(nα，nβ=0，1，2，…)，粒子数表象中归一化的本征态记为|nα…〉．以
(a)证明
(b)令
(c)证明
(4)
一维谐振子的Hamilton算符为
(1)
x与p满足基本对易式
[x，p]=xp-px=ih (2)
引入无量纲算符
(4)
三维各向同性谐振子，总能量算符为
对于(H，l2，lz)的共同本征态
计算〈r-2〉，进而计算离心势能和径向动能平均值．
在粒子数表象中，谐振子基态|0〉满足性质
a|0〉=0，
其中
，为湮灭算符．试利用此性质求出基态在动量表象中的波函数显示表式〈p|0〉．
