设{Tt:t≥0}是Banach空间X上的有界线性算子半群,f(t)=ln‖Tt‖.若存在a>0,f(t)在[0,α]上有界,证明.
设{Tt:t≥0}是Banach空间X上的有界线性算子半群,f(t)=ln‖Tt‖.若存在a>0,f(t)在[0,α]上有界,证明.
设{Tt:t≥0}是Banach空间X上的有界线性算子半群,f(t)=ln‖Tt‖.若存在a>0,f(t)在[0,α]上有界,证明.
设{Tt:t≥0}是Banach空间X上的C0类线性算子半群,t0>0,为紧算子.证明:对一切t>t0,Tt都是紧算子.
设{Tt:t≥0}是Banach空间X上的C0类线性算子半群,A为其无穷小生成元,D(A)表示A的定义域.证明下列陈述等价:
设{Tt:t≥0}是Banach空间X上的C0类线性算子半群,A为其无穷小生成元,D(A)表示A的定义域,且x,y∈X有.证明x∈D(A),且Ax=y.
设X是Banach空间,T是X上线性紧算子,g在中开圆盘Br={z∈:|z|<r}上解析,且g(0)=0,σ(T)Br.证明g(T)也是线性紧算子
设D是C中开单位网盘,D是它的闭包。设X是由所有D上连续且在D上解析的函数组成的集合。对x∈X。设
‖x‖=sup{x(eit)|:0≤t≤2π}
证明X是Banach空间。
证明Banach空间X上的微分方程
的解可表为x(t)=Ttx0+Tt-sf(s)ds,其中x(t):[0,∞)→X具有一阶连续导数,A是X上的闭线性算子,f:[0,∞)→X是连续的.
设X是Banach空间,P(x)是X上非负次线性泛函,满足当x,xn∈X,xn→x(n→∞)时有.证明存在常数M>0,使得
p(x)≤M‖x‖(x∈X).
设ΩC为开区域(即连通开集),X为复Banach空间.若x(t):Ω→X在Ω处处可导,则称x(t)在Ω上解析.若任意f∈X*,f(x(t))为Ω上通常解析函数,则称x(t)在Ω上弱解析.证明Dunford定理:x(t)在Ω上解析当且仅当x(t)在Ω上弱解析.
设X是Banach空间,,α∈,n∈.证明:
r(αT)=|α|r(T),r(Tn)=[r(T)]n.