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设P0是光滑曲面S外的一固定点，P为S上的一点．(1)如果距离|PP0|最短，那么
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(Minkowski公式)设MCR3为2维光滑、定向、紧致曲面，x(P)为它的位置向量，n(P)为P点处的连续单位法向量．函数φ(P)=一=一x(P)n(P) (P∈M)称为曲面M的支撑函数．它是坐标原点O到P的切平面的有向距离，则有Minkowski公式：
下面的论断是否正确？正确的要说明理由，错误的则给出反例．
(1)∮CF·ds是一个向量；
(2)若A，B是曲线C的起点和终点，则有∮CF·ds=F(B)-F(A)；
(3)若向量场F在单位圆周x2+y2=1上的曲线积分等于0，则F必为一个梯度场；
(4)分片光滑的封闭曲面S所包围的体积必等于
其中cosα，cosβ，cosγ，为曲面S的外法线的方向余弦
有一人工粗糙平板置于大气中，已知气温为15℃，平板长L=7m，宽b=2m，设平板外风速U0=30m/s，边界层转捩点的临界雷诺数Rek=105，求：(1)平板为一水力光滑平板时，边界粗糙的最大尺寸。
(2)平板为完全粗糙时，边界粗糙的最大尺寸。
设对于域Ω={(x，y，z)|0＜x＜+∞，-∞＜y＜+∞，-∞＜z＜+∞}内任意一个光滑的有向封闭曲面S，都有
成立，其中F(x)在区间(0，+∞)内具有连续的一阶导数，且
设M为R3中的C4正则曲面，x(u1，u2)为其参数表示，P0∈M，且满足：(1)KG(P)＞0，即P0点的Gauss(总)曲率为正的；(2)在P0点，函数k1达到极大值，同时函数k2达到极小值，则P0为M的脐点．这和以下条件等价：设M为R3中的C4正则曲面，x(u1，u2)为其参数表示，P0∈M，且满足：(1’)P0为非脐点；(2’)在P0点，函数k1达极大值，同时函数k2达极小值．则KG(P0)≤0．
设P0为两曲线x(s)与
的交点，在P0的一旁邻近取点P1，P2，它们分别属于曲线x(s)与
，且使曲线弧长
． 若
则称曲线x(s)与
在P0点有n阶接触． 证明： (1)两曲线x(s)与
具有n阶接触等价于
； (2)曲线x(s)的切线y(s)=x(s0)+(s一s0)x(s0)与曲线x(s)在s0有1阶接触的唯一直线； (3)若连通C2曲线x(s)每一点的切线与曲线x(s)有2阶接触，则曲线x(s)为直线．
设曲面M上的一条曲率线C：x(s)(s为弧长)，它的每一点处的从法向量V3(s)与曲面在该点处的法向量n(s)成定角，且V3(s).n(s)≠±1(即V3s(s)不平行于n(s))．证明：C为平面曲线．
