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若R3中曲面的所有曲线均为曲率线，则它为全脐的曲面．进而，若该曲面连通，则它为球面片或平面片．(参阅引理3．1．4．)
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证明：具有常曲率k≠0的挠曲线x(s)为Bertrand曲线(s为弧长)，且x(s)的侣线
是x(s)的曲率中心的轨迹；并且
的曲率
，挠率
如果x(s)满足：
则或者x(s)为球面曲线，或者x(s)为常曲率曲线．
设曲线C：x(s)(s为弧长)为常挠曲率曲线．证明曲线
：
为x(s)的Bertrand侣线，其中a，b为常数，k，τ，V2分别为x(s)的曲率、挠率和主法向量，x(s)为其本身的从法向量，即x(s)=V3(s)．
设M为R3中的2维紧致、光滑、连通曲面，H为其平均曲率，则
其中等号成立
M为一个球面．
设
为2维紧致、定向、连通的凸曲面，且M的平均曲率H=常数，则M为一个球面；
当黏合两薄透镜时，若相接触的表面曲率半径r2，r3不吻合(见图1-25)，复合透镜的焦距公式应如何修改？
R3中一个2维紧致曲面M的洞(窟窿)数称为它的亏格．R3中亏格为g的2维、紧致、定向、连通曲面的Euler-P0incae示性数X(M)为2(1一g)，即X(M)=2(1一g)．进而，立知R3中2维紧致、定向、连通曲面M的Euler-Poincare示性数总是2，0，一2，一4，…，一2n，…中的一个．
则M同胚于球面，且它的Gauss曲率KG≥0．
