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[主观题]

设G是赋范空间X的子空间,证明x0∈当且仅当对于X上任一满足f(x)=0(x∈G)的有界线性泛函f必有f(x0)=0.

设G是赋范空间X的子空间,证明x0设G是赋范空间X的子空间,证明x0∈当且仅当对于X上任一满足f(x)=0(x∈G)的有界线性泛函f必当且仅当对于X上任一满足f(x)=0(x∈G)的有界线性泛函f必有f(x0)=0.

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第1题
设Y是赋范空间X的子空间,g∈Y'且f∈X'是g的Hahn-Banach延拓。证明:
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第2题
设Y是赋范空间X的闭子空问。证明xn+Y→x+y当且仅当存在Y中的序列{yn)使得xn+yn→x∈X

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第3题
设X是K上的赋范线性空间,S={x∈X:‖x‖≤1}。设g:S→K是一个映射,使得 g(kx+y)=kg(z)+g(y), (4) 其中x,y和kx+y

设X是K上的赋范线性空间,S={x∈X:‖x‖≤1}。设g:S→K是一个映射,使得

g(kx+y)=kg(z)+g(y), (4)

其中x,y和kx+y属于S,k在中。证明g能唯一地延拓到X上的线性泛函f。再证明f是连续的当且仅当g是连续的。

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第4题
设Y是赋范空间X的子空间。证明:若a∈X,,则存在f∈X'使得f在Y上恒为0,f(a)=d(a,Y)且‖f‖=1

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第5题
设Y是赋范空间X的闭子空间,F:X→X/Y是商映射,定义如下:F(x)=x+Y,证明F是连续的且映X中的开集为X/y中的开集。

设Y是赋范空间X的闭子空间,F:X→X/Y是商映射,定义如下:F(x)=x+Y,证明F是连续的且映X中的开集为X/y中的开集。

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第6题
设E是赋范空间X的子集,Y=spanE,a∈X。证明当且仅当对所有在E上恒为0的f∈X’'有f(a)=0。

设E是赋范空间X的子集,Y=spanE,a∈X。证明当且仅当对所有在E上恒为0的f∈X’'有f(a)=0。

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第7题
设X和Y是赋范空间,F:X→Y是线性的,证明F是连续的当且仅当对每个y'∈Y'有y'。F∈X'

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第8题
设X是赋范空间,xα∈X,,其中α属于某个指标集A。证明在X'中存在f使得f(xα)=kα当且仅当存在M>0使得 其中

设X是赋范空间,xα∈X,,其中α属于某个指标集A。证明在X'中存在f使得f(xα)=kα当且仅当存在M>0使得

其中这些和是有限的,且是对所有可能的来取的。

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第9题
设X和Y是赋范空间,X≠{0},F:X→Y是有界线性映射。证明存在/Y中的序列{xn},使得对所有n都有‖xn‖=1,且当n→∞时有‖

设X和Y是赋范空间,X≠{0},F:X→Y是有界线性映射。证明存在/Y中的序列{xn},使得对所有n都有‖xn‖=1,且当n→∞时有‖F(xn)‖→‖F‖

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第10题
设X和Y是赋范空间。E是X的有界完备凸子集,是满足下列条件的连续映射F:X→Y的集合:对0<r<1及x,y∈E, F(rx+(1-r

设X和Y是赋范空间。E是X的有界完备凸子集,是满足下列条件的连续映射F:X→Y的集合:对0<r<1及x,y∈E,

F(rx+(1-r)y)=rF(x)+(1-r)F(y)

证明在E上一致有界当且仅当它在E上逐点有界。

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第11题
设X是赋范空间,C是X中凸集,,证明当x∈,有

设X是赋范空间,C是X中凸集,,证明当x∈

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