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[主观题]

设Y是赋范空间X的闭子空问。证明xn+Y→x+y当且仅当存在Y中的序列{yn)使得xn+yn→x∈X

设Y是赋范空间X的闭子空问。证明xn+Y→x+y当且仅当存在Y中的序列{yn)使得xn+yn→x∈X

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第1题
设E1和E2是赋范空间X的不交非空凸子集,其中E1是紧的,E2是闭的。证明:存在X'中的厂和实数α1,α2,使得对所

设E1和E2是赋范空间X的不交非空凸子集,其中E1是紧的,E2是闭的。证明:存在X'中的厂和实数α1,α2,使得对所有E1中的x1和E2中的x2

Ref(x1)<α1<α2<Ref(x2)

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第2题
设Y是赋范空间X的子空间,g∈Y'且f∈X'是g的Hahn-Banach延拓。证明:
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第3题
设X,Y为赋范空间,F∈CL(X,Y),问:是否有

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第4题
设X是Banach空间,Y是赋范空间,对n,m=1,2,…。设Fmn∈BL(X,Y)若对每个m≥1,存在X中的xm使得 证明存在X中的x使

设X是Banach空间,Y是赋范空间,对n,m=1,2,…。设Fmn∈BL(X,Y)若对每个m≥1,存在X中的xm使得

证明存在X中的x使得

,m=1,2,…。

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第5题
设X是Banach空间,Y是任一个赋范空间。若F:X→Y是从X到R(F)的线性同胚,且R(F)在Y中稠密,证明R(F)=Y

设X是Banach空间,Y是任一个赋范空间。若F:X→Y是从X到R(F)的线性同胚,且R(F)在Y中稠密,证明R(F)=Y

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第6题
设X是赋范空间,C是X中凸集,,证明当x∈,有

设X是赋范空间,C是X中凸集,,证明当x∈

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第7题
对x∈L1[-π,π],设 ,n=0,±1,±2,…。 对整数集合E,设 证明CE是C[-π,π]的闭子空间。再证明若对每个z∈CE (2

对x∈L1[-π,π],设

,n=0,±1,±2,…。

对整数集合E,设

证明CE是C[-π,π]的闭子空间。再证明若对每个z∈CE

(2)

则存在α>0使得对每个x∈CE

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第8题
设X,Y是赋范空间,F∈BL(X,Y)。证明若F映X的开子集为Y的开子集,则F是满射。

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第9题
设X为赋范空间,T∈BL(X),设Y为对应于T的某个特征值λ的特征空间。求:T在Y上限制的谱。

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第10题
设X,Y,Z为赋范空间,F∈BL(X,Y),G∈BL(Y,Z)。求证:(G·F)'=F'·G'

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第11题
设X,y为赋范空间,F:X→Y为线性算子。若y'∈Y',定义F'(y'):为 F'(y')(x)=y'(F(x)

设X,y为赋范空间,F:X→Y为线性算子。若y'∈Y',定义F'(y'):

F'(y')(x)=y'(F(x)), x∈X

求证:

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