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[主观题]

试证明: 设fn∈C([a,b])(n∈N),且(a≤x≤b).则(λ∈R1)是Fσ集.

试证明:

设fn∈C([a,b])(n∈N),且试证明:  设fn∈C([a,b])(n∈N),且(a≤x≤b).则(λ∈R1)是Fσ集.试证明: (a≤x≤b).则试证明:  设fn∈C([a,b])(n∈N),且(a≤x≤b).则(λ∈R1)是Fσ集.试证明: (λ∈R1)是Fσ集.

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第1题
试证明: 设fn∈L([a,b])(n∈N),且有 |fn(x)|≤Mn(n∈N,x∈[a,b]),, 则,a.e.x∈[a,b],且有 .

试证明:

设fn∈L([a,b])(n∈N),且有

|fn(x)|≤Mn(n∈N,x∈[a,b]),

,a.e.x∈[a,b],且有

.

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第2题
设fn∈C(1)([0,1]),‖f'n‖∞≤1(n∈N).若对一切g∈C([0,1]),有,试证明.

设fn∈C(1)([0,1]),‖f'n≤1(n∈N).若对一切g∈C([0,1]),有,试证明

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第3题
试证明: 设fn∈C([0,1])(n∈N),且有 (0≤x≤1),fn(x)≥fn+1(x)(n∈N),则(对x∈[0,1]一致).

试证明:

设fn∈C([0,1])(n∈N),且有

(0≤x≤1),fn(x)≥fn+1(x)(n∈N),则(对x∈[0,1]一致).

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第4题
试证明: 设fn∈C(1)((a,b))(n=1,2,…),且有 ,, x∈(a,b). 若存在f'(x),F(x)在(a,b)上连续,则f'(x)=

试证明:

设fn∈C(1)((a,b))(n=1,2,…),且有

, x∈(a,b).

若存在f'(x),F(x)在(a,b)上连续,则f'(x)=F(x),x∈(a,b).

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第5题
试证明: 设f∈L(R1)且f(x)≥0(x∈R1),则存在闭集列:,使得 , f∈C(Fn) (n∈N).

试证明:

设f∈L(R1)且f(x)≥0(x∈R1),则存在闭集列:,使得

, f∈C(Fn) (n∈N).

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第6题
试证明: 设f(x),fn(x)(n∈N)在R1上可测,g∈C(R1),若,a.e.x∈R1,则,a.e.x∈R1.

试证明:

设f(x),fn(x)(n∈N)在R1上可测,g∈C(R1),若,a.e.x∈R1,则,a.e.x∈R1

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第7题
试证明: 设f(x,y)在R1×R1上分别是一元连续函数,则存在fn∈C(R2)(n∈N),使得 , (x,y)∈R2.

试证明:

设f(x,y)在R1×R1上分别是一元连续函数,则存在fn∈C(R2)(n∈N),使得

, (x,y)∈R2.

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第8题
试证明: 设fn∈L([0,1]),fn(x)≥0(x∈[0,1])且(n∈N).若,则对a.e.x∈[0,1],存在N,使得(n>N).

试证明:

设fn∈L([0,1]),fn(x)≥0(x∈[0,1])且(n∈N).若,则对a.e.x∈[0,1],存在N,使得(n>N).

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第9题
试证明: 设数列{an},{bn}满足|an|+|bn|≤10(n∈N),则对fn(x)=ansin(nx)+bncos(nx)(n∈N),不能成立,a.e.x∈[-π,

试证明:

设数列{an},{bn}满足|an|+|bn|≤10(n∈N),则对fn(x)=ansin(nx)+bncos(nx)(n∈N),不能成立,a.e.x∈[-π,π].

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第10题
试证明: 设fn∈L(R1)(n=1,2,…),F∈L(R1),且有 . 若存在,(n=1,2,…):m(En△E)→0(n→∞),则 .

试证明:

设fn∈L(R1)(n=1,2,…),F∈L(R1),且有

若存在(n=1,2,…):m(En△E)→0(n→∞),则

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第11题
试证明: 设定义在R1上的函数列{fn(x)}满足(λn>0,n∈N) (En={x∈R1:|fn(x)|/λn>1}), 则存在且m(Z)=0,使得

试证明:

设定义在R1上的函数列{fn(x)}满足(λn>0,n∈N)

(En={x∈R1:|fn(x)|/λn>1}),

则存在且m(Z)=0,使得(x∈R1\Z).

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