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[主观题]
试证明: 设f(x,y)在R1×R1上分别是一元连续函数,则存在fn∈C(R2)(n∈N),使得 , (x,y)∈R2.
试证明:
设f(x,y)在R1×R1上分别是一元连续函数,则存在fn∈C(R2)(n∈N),使得
, (x,y)∈R2.
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试证明:
设f(x,y)在R1×R1上分别是一元连续函数,则存在fn∈C(R2)(n∈N),使得
, (x,y)∈R2.
试证明:
设,则f:R1→R1在E上的图形集
Gf={(x,y):y=f(x),x∈E}
是Gδα曲集.
试证明:
设f(x),fn(x)(n∈N)在R1上可测,g∈C(R1),若,a.e.x∈R1,则
,a.e.x∈R1.
试证明:
设f(x)在R1上可测,φ:(0,∞)→(a,∞) (a>0)且是递增函数,则
.
试证明:
设fn(x)(n=1,2,…)是R1上的递增函数,若存在M>0,使得|fn(x)|≤M(n∈N,x∈R1),则存在R1上的函数f(x)以及{nk},使得.
试证明:
(i)设f(x)是R1上以T>0为周期的可测函数,且,则
,a.e.x∈R1.
(ii),a.e.x∈R1.
试证明:
设f∈C(R1).若存在λ>0,使得
|f(x)-f(y)|≥λ|x-y|(x,y∈R1),
则值域R(f)=R1.
试证明:
(Féjer)设φ(x)同上,{λn}是实数列,f∈/(R1),则
.
注:(f∈L(R1)).
试证明:
设f∈C(R1)且是一一映射,又有x0∈R1,使得f(x0)=x0.若成立等式
f(2x-f(x))=x (x∈R1),
则.
试证明:
设f∈L(R1)且f(x)≥0(x∈R1),则存在闭集列:,使得
, f∈C(Fn) (n∈N).
试证明:
设定义在R1上的函数列{fn(x)}满足(λn>0,n∈N)
(En={x∈R1:|fn(x)|/λn>1}),
则存在且m(Z)=0,使得
(x∈R1\Z).