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设f(x)为正值单调下降函数(x≥0),又a>1.求证∑f(k)与∑akf(ak)两者必同时收敛同时发散.
设f(x)为正值单调下降函数(x≥0),又a>1.求证∑f(k)与∑akf(ak)两者必同时收敛同时发散.
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设f(x)为正值单调下降函数(x≥0),又a>1.求证∑f(k)与∑akf(ak)两者必同时收敛同时发散.
设∑ak为一正项发散级数,.又设f(x)为一正值单调下降函数,试证
(i)
(ii)
(iii)一同收敛与一同发散.
设于n增大时正值连续的函数列vn(x)为单调地下降(0<x<1).又设.于是当∑an收敛时即有
设函数f(x)满足:f(-x)=-f(x),且当x>0时,f'(x)>0,则当x<0时函数f(x)( ).
(A)单调递增 (B)单调递减 (C)可能递增也可能递减 (D)以上都不对
设且m(E)=0,试证明存在[a,b]上是连续且单调上升的函数f(x),使得f'(x)=+∞,x∈E.
试证明:
设f∈C([0,∞))∩L([0,∞)),且是正值递减函数,则
当且仅当对t>0有f(x+t)/f(x)→0(x→+∞).
试证明:
设f(x)是[0,1]上正值递增函数,若有g(x)满足0≤g(x)≤[f(x)-f(y)]/(x-y)(0<y<x≤1),则存在(0,1)上递减可积函数F(x),使得g(x)≤F(x)(0<x<1).
试证明:
设f(x),g(x)是[0,∞)上正值可测函数,且对任意的a>0,f∈L([0,a]),g∈L([0,a]).若有
,
,
则存在充分大的值r,使得对满足0≤s≤r的s,均有
.
试证萨比洛的弱“陶贝尔型”定理可被扩充成如下的形式:设α>0.又设φ(t)为一正值单调上升函数并满足关系:
此处x→∞系经过这样的实数序列而使上式中的Stieltjes积分恒有意义,于是必有二正常数β1及β2使当x甚大时常有:
β1xα≤φ(x)≤β2xα,其中β1决不可能大于1/α,而β2决不可能小于1/α.
设f(x),g(x)为[a,b]内的正值可积分函数,则
亦即G(f+g)≥G(f)+G(g).[勃拉希克]
设a1≥a2≥…≥an≥0,f(0)=0,f'(0)≥0.又设f'(x)为单调上升的连续函数,则有下列不等式
[倍尔门]