题目内容
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[主观题]
有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞。()
有界可测集的测度为有限数，无界可测集的测度为+∞。（)
A.正确
B.错误
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(X，
)是可测空间，μ是(X，)上的有限实测度，A∈．若
，E
，E
存在正集A+和负集A-使
，A+∪A-=X，且对
，有
μ+(E)=μ(A+∩E)，μ-(E)=-μ(A-∩E)．
这里X的分解(A+，A-)称为μ的Hahn分解．
设在可测空间(X，
)上给定两个测度μ1，μ2，令μ=a1μ1+a2μ2，这里a1，a2是实数。试证：存在X的分解X=A∪B，
，使A为μ的正集，B为μ的负集。(μ的正集定义为：对每个可测集E，E∩A可测且μ(E∩A)≥0。负集的定义类似。)
设(X，
，μ)是测度空间，其中X是局部紧的σ-紧的Hausdorff空间，拓扑为τX，
，μ是正则的且对X的任何紧集K有μ(K)＜∞(注意
试证明：
设μ*是定义在Rn上的一种外测度，若任一Borel集都是μ*可测集，则μ*是距离外测度．
设
是(0，1)内所有Lebesgue可测集的σ-代数，λ是Lebesgue测度，μ是
上的计数测度．证明：不存在h∈L1(μ)使λ(E)=
．
设用ψ表示R上的映射x→x-1(当x≠0)，0→0。问任一勒贝格可测集E在映射ψ之下的像是否可测，测度如何？
设(X，
，μ)是测度空间，A是可测集且μ(A)＞O．若对A的每个可测子集E，要么有μ(E)=0，要么有μ(A\E)=0，则称A是一个原子．若(X，
，μ)没有原子，则称它为非原子测度空间．
试证明：
设g(x)是E上的可测函数，若对任意的f∈L(E)，都有f·g∈L(E)，则除一个零测集Z外，g(x)是E\Z上的有界函数．
