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设(X，
，μ)是测度空间，A是可测集且μ(A)＞O．若对A的每个可测子集E，要么有μ(E)=0，要么有μ(A\E)=0，则称A是一个原子．若(X，
，μ)没有原子，则称它为非原子测度空间．
设(X，
，μ)是测度空间，其中X是局部紧的σ-紧的Hausdorff空间，拓扑为τX，
，μ是正则的且对X的任何紧集K有μ(K)＜∞(注意
试证明：
设μ*是定义在Rn上的一种外测度，若任一Borel集都是μ*可测集，则μ*是距离外测度．
设(X，
，μ)=(Y，
，ν)对应于勒贝格测度的单位区间这样的测度空间，E足X×Y中适合下述条件的集：对每个x与每个y，Ex与X-Ey都是可列集。那么，E是不可测的。
设X是一个不可数集，
是X中所有使E或Ec至多是可列的子集_E所作成的集族．若E至多可列，定义μ(E)=0；若Ec至多可列，定义，μ(E)=1．证明
是X上的σ-代数，μ是
上的一个测度。
设A为Hilbert空间H上的紧算子，δ＞0。求证：
(a)设M为H的线性无关子集，且M中元都是满足k|＞δ的特征值k所对应的特征向量。则M必为有限集。
(b)若k为A的非零特征值，则其对应的特征空间必为有限维的。
(c)A仅有可数个不同的特征值。
函数f在区间[a,b]上R可积的充要条件是f在区间[a,b]上的不连续点集为零测度集。()
试证明：
设
设
是(0，1)内所有Lebesgue可测集的σ-代数，λ是Lebesgue测度，μ是
上的计数测度．证明：不存在h∈L1(μ)使λ(E)=
．
