设H是Hilbert空间,T:D(T)H→H是自共轭算子,U是T的Cayley变换,假定T-1存在且是稠定的,证明T-1的Cayley变换是-
设H是Hilbert空间,T:D(T)H→H是自共轭算子,U是T的Cayley变换,假定T-1存在且是稠定的,证明T-1的Cayley变换是-U-1.
设H是Hilbert空间,T:D(T)H→H是自共轭算子,U是T的Cayley变换,假定T-1存在且是稠定的,证明T-1的Cayley变换是-U-1.
设H是Hilbert空间,T:D(T)H→H是闭的对称算子,证明σ(T)是下列4种情况之一.
证明:设H是Hilbert空间,T:D(T)H→H是线性算子,则σ(T)是闭集,且在ρ(T)上,S(λ)=(T-λI)-1是算子值解析函数.
设S和T是Hilbert空间H中使得ST在H中稠定的线性算子.证明(ST)*T*S*;若D(S)=H且S是有界的,证明(ST)*=T*S*.
设A∈BL(H),H为Hilbert空间。若A为自伴且为可逆的,求证:
举例说明上述不等式可以是严格的。
设{un}为可分Hilbert空间H的完全标准正交序列,A∈BL(H)且对某
A(un)=λun-un+1, n=1,2,…。
求σ(A)
设A∈BL(H),其中H为Hilbert空间,W(A)为A的数值域。求证:
(a)
(b)A为自伴的
(c)(b)的逆命题不成立。
(d)设A为自伴的,则A为正算子当且仅当A的谱中仅有非负实数。
设A为Hilbert空间H上的紧算子,{un}为H的无穷标准正交序列,求证:在H中有Aun→0
设H为Hilbert空间,W为所有H上的正规算子之集。求证:
(a)w为BL(H)的闭集。
(b)W不可能为BL(H)的真子空间。
设{un:α∈L}为Hilbert空间H的标准正交基。设A∈BL(H)使得
(11)
求证:
(a)
(b)若{vi:i∈J}为H的另一标准正交基,则
(c)A为紧算子。
[使(11)成立的算子称为Hilbert-Schmidt算子。]
设H为Hilbert空间,P∈BL(H)。求证:
(a)P为正交投影当且仅当P=P*P
(b)每一正交投影都是自伴的