设E是的可测子集, X={x∈L2(E):tx(t)∈L2(E)} 定义F:X→L2(E)为 F(x)(t)=tx(t),t∈E, x∈X 证明若E=[a,b],则
设E是的可测子集,
X={x∈L2(E):tx(t)∈L2(E)}
定义F:X→L2(E)为
F(x)(t)=tx(t),t∈E, x∈X
证明若E=[a,b],则F是连续的;若,则F是不连续的。
设E是的可测子集,
X={x∈L2(E):tx(t)∈L2(E)}
定义F:X→L2(E)为
F(x)(t)=tx(t),t∈E, x∈X
证明若E=[a,b],则F是连续的;若,则F是不连续的。
设E是赋范空间X的子集,Y=spanE,a∈X。证明当且仅当对所有在E上恒为0的f∈X’'有f(a)=0。
设f是X上的复可测函数.μ是X上的正测度并且
设E={p:φ(p)<∞},并假设‖f‖∞>0.
试证明:
设且m(E)<+∞,{ft(x)}是E上一族(0<t<+∞)实值可测函数,若存在极限(x∈E),且是E上可测函数,则任给ε>0,存在:m(E0)>m(E)-ε,使得在E0上一致地存在.
试证明:
设对于每个x∈[0,1]均存在点集:m(Ix)≥1/2,以及二元可测函数
则存在t*∈[0,1],:m(E)≥1/2,使得f(x,t*)=1(x∈E).
试证明:
设是可测集,若有
m(Ex)=m({y:(x,y)∈E})≤1/2,a.e.x∈[0,1],则m({y:m(Ey)=1})≤1/2.
设(X,)是可测空间,λ,μ是上的测度(可以是正测度,带号测度或复测度).若对每个E∈,μ(E)=0蕴涵λ(E)=0,则记为λμ.若存在A,B∈,,使|λ|(Ac)=0且|μ|(Bc)=0,则记为λ⊥μ(或μ⊥λ).证明:
‖x‖=inf{r>0:r-1x∈E)
证明‖·‖是X上的范数,且
再证明任意赋范空间X上的范数都是由某个E按上述方式生成的。
设X为赋范空间,Ω是X的有界开凸子集,θ∈Ω,T:→X为全连续算子,为Ω的边界.若下列条件之一满足: