设f是X上的复可测函数.μ是X上的正测度并且 设E={p:φ(p)<∞},并假设‖f‖∞>0.
设f是X上的复可测函数.μ是X上的正测度并且
设E={p:φ(p)<∞},并假设‖f‖∞>0.
设f是X上的复可测函数.μ是X上的正测度并且
设E={p:φ(p)<∞},并假设‖f‖∞>0.
设f(x)是(a,b)上的可测函数,试问何时其分布函数F(t)在t0∈(a,b)处连续?
试证明:
设f(x)在R1上可测,φ:(0,∞)→(a,∞) (a>0)且是递增函数,则
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试证明:
设f(x),g(x)是[0,∞)上非负递增函数,φ(x),ψ(x)是[0,∞)上非负可测函数,则对a<b,有
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设μ是X上的正测度,f∈L∞(μ).定义乘算子(线性)Tf:L2(μ)→L2(μ)使Tf(g)=fg,g∈L2(μ).证明‖Tf‖≤‖f‖∞.哪些测度μ使所有的f∈L∞(μ)都有‖Tf‖=‖f‖∞?哪些f∈L∞(μ)使Tf为满射?
(黎曼-莱贝克定理的扩充)设K(x,y)是在平面区域-∞<x<∞,0≤y<ω上的有界可测函数,且是变数y的周期函数,其周期为ω又设K(x,λx)对于每一个充分大的λ而言,都是-∞<x<∞上的可测函数.则对于任意一个莱贝克可积函数f(x),下面的公式常常成立:
[徐利治]
设在可测空间(X,)上给定两个测度μ1,μ2,令μ=a1μ1+a2μ2,这里a1,a2是实数。试证:存在X的分解X=A∪B,,使A为μ的正集,B为μ的负集。(μ的正集定义为:对每个可测集E,E∩A可测且μ(E∩A)≥0。负集的定义类似。)
(X,)是可测空间,μ是(X,)上的有限实测度,A∈.若,EA,有μ(E)≥0,则称A为正集.若,EA,有μ(E)≤0,则称A为负集.证明下述的Hahn分解定理:
存在正集A+和负集A-使,A+∪A-=X,且对,有
μ+(E)=μ(A+∩E),μ-(E)=-μ(A-∩E).
这里X的分解(A+,A-)称为μ的Hahn分解.
设X是连通的拓扑空间,C*(X)是X上连续复函数之集,是C*(X)中的一个等度连续函数之集.若对某个x0∈X,复数集{f(x0):f∈}有界,证明对每个x∈X,{f(x):f∈}都是有界的.