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证明：曲线x(t)=(cost+tsint，sint—tcost)的渐缩线为圆y(t)=(cost，sint)．
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证明：若平面曲线x＝φ(t)，t=ψ(t)，α≤t≤β光滑(即φ(t)，ψ(t)在[α，β]上具有连续的导数)，则此曲线的面积为零．
证明：下列两条曲线x(t)=(ch t，sh t，t)与
是全等的，并求出曲线
变成x(t)的空间刚性变换或等距变换．
设x(t)为C1参数曲线，m为固定向量．若对任何t，x(t)正交于m，且x(0)正交于m，证明：对任何t，x(t)正交于m．
证明广义的Cauchy定理与Cauchy公式：设X是Banach空间，D
设非负函数y=f(x)∈C[0，+∞)，且f(0)=0，V(t)表示由曲线y=f(x)，直线x=t(t＞0)，y=0所围图形绕直线x=t旋转而成的几何体的体积，试证明V(t)=2πf(t)．
设k(s0)≠0．证明：曲线C：x(s)(s为其弧长)与已给球面(球心为m)在s0有2阶接触
其中t可以任意选定．上式右边当固定s0时得到一条直线，称为曲线x(s)在s0处的曲率轴或极轴，而点
称为曲率中心，以曲率中心为圆心、
为半径的圆落在密切平面上，称为曲线x(s)在s0处的密切圆(见习题1．4．3图)．(2)设k(s0)≠0，τ(s0)
证明：一条C4曲线x(s)为一般螺线等价于(x，x，x)=(V1，V1，V1)=0．
设函数f(x)与ψ(x)在x0处可导，证明：曲线y=f(x)与曲线y=ψ(x)在x=x0处相切的充分必要条件为
与曲线
是全等的，即可通过变换
(A为正交矩阵，｜A｜=1)将曲线
变为x(t)．
在点(x，y)处的曲率半径为
．
