在点(x，y)处的曲率半径为
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设k(s0)≠0．证明：曲线C：x(s)(s为其弧长)与已给球面(球心为m)在s0有2阶接触
其中t可以任意选定．上式右边当固定s0时得到一条直线，称为曲线x(s)在s0处的曲率轴或极轴，而点
称为曲率中心，以曲率中心为圆心、
为半径的圆落在密切平面上，称为曲线x(s)在s0处的密切圆(见习题1．4．3图)．(2)设k(s0)≠0，τ(s0)
设曲线x(s)为一般螺线，V1(s)与V2(s)分别为曲线x(s)的单位切向量与主法向量，R(s)为其曲率半径． 证明：
也为一般螺线．
若曲线y=f(x)在第①种定义下在(a，b)内为凸的,证明函数y=f(x)在(a，b)内连续，且在(a，b)内任一点处存在左导数与右导数
证明：曲面
在点(u，v)处Gauss(总)曲率相等．但M与
在此对应下未必为等距映射．问(a，b)与
满足什么关系时，M与
在此对应下等距？
设曲面M上的一条曲率线C：x(s)(s为弧长)，它的每一点处的从法向量V3(s)与曲面在该点处的法向量n(s)成定角，且V3(s).n(s)≠±1(即V3s(s)不平行于n(s))．证明：C为平面曲线．
证明，如果在区间[a，b]上的连续函数f(x)在关于直线
证明：在曲面M：x(u，v)的一般参数u，v下，弧长参数曲线(u(s)，v(s))的测地曲率为
其中A=A1=F111u2+2F121uv+F221v2，B=A2=F111u2
设曲面M：x(u，v)上无抛物点，并设M的一个平行曲面为M：x(u，v)=x(u，v)+λn(u，v)，n(u，v)为x(u，v)处的单位法向l量，其中λ为充分小的常数，使1一λH+λ2KG≠0．证明：可选M的法向量n，使M的Gauss(总)曲率KG与平均曲率H分别为
设曲线y=f(x)与y=g(x)在(x0，y0)处相切，且在这一点处曲线y=f(x)的曲率k1比y=g(x)的曲率k2大，若f"(x0)，g"(x0)＞0．问在(x0，y0)附近，y=f(x)是在y=g(x)的上方还是下方．
证明：具有常曲率k≠0的挠曲线x(s)为Bertrand曲线(s为弧长)，且x(s)的侣线
是x(s)的曲率中心的轨迹；并且
的曲率
，挠率
