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设{Tt：t≥0}是Banach空间X上的C0类线性算子半群，A为其无穷小生成元，D(A)表示A的定义域，且x，y∈X有
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证明Banach空间X上的微分方程
设{Tt：t≥0}是C0[0，∞)上的平移半群，即
(Ttx)(s)=x(s+t)，t≥0，x∈C0[0，∞)．证明
设X为Banach空间，A，B∈BL(X)。求证：若B为紧的，则除掉特征值外A的谱和A+B的谱相等。
设X为赋范空间，T∈BL(X)，设Y为对应于T的某个特征值λ的特征空间。求：T在Y上限制的谱。
试证明：
设xsf(x)，xsf(x)在(0，∞)上可积，其中s＜t，则积分
设X=L2[0，1]，是为闭单位正方形
S={s(t)：0≤S，t≤1}
上的纯量连续函数。对x∈X，令
求证：A：X→X为紧线性算子。
设函数α(x)，φ(x)≠0定义在0≤x＜∞内而适合下列条件：
(1)在每一有限间隔0≤x≤t上α(x)，φ(x)都是有界变差函数．
(2)α(x)及φ(x)没有相同的不连续点
(3)当t→∞时，Vφ(t)=V0t[φ]→∞，于是无穷积分
设X是有单位元e的Banach代数，x∈X，p是复系数多项式且p(x)=θ．证明x的谱点都是p的根．
设a1，a2，…，an为一组不全相同之正数，则对于幂平均值Ms(a)=M．而言，于s＞t＞0时常有不等式
