试证明:
设f(x),fn(x)(n∈N)在R1上可测,g∈C(R1),若,a.e.x∈R1,则,a.e.x∈R1.
试证明:
设f∈L(R1)且f(x)≥0(x∈R1),则存在闭集列:,使得
, f∈C(Fn) (n∈N).
试证明:
设f(x,y)在R1×R1上分别是一元连续函数,则存在fn∈C(R2)(n∈N),使得
, (x,y)∈R2.
试证明:
设fn∈L(R1)(n=1,2,…),F∈L(R1),且有
.
若存在,(n=1,2,…):m(En△E)→0(n→∞),则
.
试证明:
设定义在R1上的函数列{fn(x)}满足(λn>0,n∈N)
(En={x∈R1:|fn(x)|/λn>1}),
则存在且m(Z)=0,使得(x∈R1\Z).
试证明:
设{fn(x)}是R1上非负实值可积函数渐降列,且fn(x)→0(n→∞,x∈R1),令,则
.
试证明:
设fn(x)(n=1,2,…)是R1上的递增函数,若存在M>0,使得|fn(x)|≤M(n∈N,x∈R1),则存在R1上的函数f(x)以及{nk},使得.
设fn∈C(1)([0,1]),‖f'n‖∞≤1(n∈N).若对一切g∈C([0,1]),有,试证明.
试证明:
设fn∈C([0,1])(n∈N),且有
(0≤x≤1),fn(x)≥fn+1(x)(n∈N),则(对x∈[0,1]一致).
试证明:
设f(x)是[0,1]上的递增函数,则存在fn∈C([0,1])(n∈N),使得(0≤x≤1).