试在坐标平面R2中作稠密点集E,使得平行于两轴的直线至多交E中一个点.
试在坐标平面R2中作稠密点集E,使得平行于两轴的直线至多交E中一个点.
试在坐标平面R2中作稠密点集E,使得平行于两轴的直线至多交E中一个点.
设f:R1→R1,且有f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R1).若f(x)至少有一个不连续点,试证明其函数图形集
Gf={(x,f(x)):x∈R1}
在R2中稠密.
试在[0,1]中作一零测集Z,使得任意的f∈R([0,1])的连续点集cont(f)与Z之交集均非空集.
试证明:
设E1,E2是R2中的正测集,则存在h0>0,使得
m(E1∩(E2+{h0}))>0.
试证明:
设正数列{an}:a1<a2<…<an<…满足
,,
则数集E={am/an:1≤n≤m}在(1,∞)中稠密.
试证明:
设是x,y的二元非零多项式,则点集E={(x,y)∈R2:P(x,y)=0}无内点.
记R2中以(x,rx)为中心的开圆为Bx,其中x∈R2,rx为正有理数,且令点集
,.
试证明不论如何选择rx,总有.
在射影平面P2(R)上,设共点于0的3条直线l1,l2,l3的齐次坐标分别是[(-1,0,3)],[(0,1,5)],[(1,1,2)],求通过点O的一条直线l4,使得它们的交比R(l1,l2;l3,l4)=-3。
试证明:
(i)设且m(E)>1,则E中存在两点:P1=(x1,y1),P2=(x2,y2),其中x2-x1∈Z,y2-y1∈Z(Z是整数集).
(ii)设是以原点(0,0)为中心的对称凸集,且m(S)>22,则S包含整数格点P=(x,y)≠(0,0).此外,又若存在n0∈N,使得m(S)>n0·22,则S至少包含2n0个整数格点.