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[主观题]

试在坐标平面R2中作稠密点集E,使得平行于两轴的直线至多交E中一个点.

试在坐标平面R2中作稠密点集E,使得平行于两轴的直线至多交E中一个点.

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第1题
设f:R1→R1,且有f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R1).若f(x)至少有一个不连续点,试证明其函数图形集 Gf={(x,f(x)):x∈R

设f:R1→R1,且有f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R1).若f(x)至少有一个不连续点,试证明其函数图形集

Gf={(x,f(x)):x∈R1}

在R2中稠密.

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第2题
试在[0,1]中作一零测集Z,使得任意的f∈R([0,1])的连续点集cont(f)与Z之交集均非空集.

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第3题
试证明: 点集在R1中稠密.

试证明:

点集在R1中稠密.

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第4题
试作R1中稠密点集列{Ek},使得.

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第5题
试证明: 设E1,E2是R2中的正测集,则存在h0>0,使得 m(E1∩(E2+{h0}))>0.

试证明:

设E1,E2是R2中的正测集,则存在h0>0,使得

m(E1∩(E2+{h0}))>0.

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第6题
试在单位开圆B(0,1)内作可列集E,使得.

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第7题
试证明: 设正数列{an}:a1<a2<…<an<…满足 ,, 则数集E={am/an:1≤n≤m}在(1,∞)中稠密.

试证明:

设正数列{an}:a1<a2<…<an<…满足

则数集E={am/an:1≤n≤m}在(1,∞)中稠密.

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第8题
试证明: 设是x,y的二元非零多项式,则点集E={(x,y)∈R2:P(x,y)=0}无内点.

试证明:

是x,y的二元非零多项式,则点集E={(x,y)∈R2:P(x,y)=0}无内点.

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第9题
记R2中以(x,rx)为中心的开圆为Bx,其中x∈R2,rx为正有理数,且令点集 ,. 试证明不论如何选择rx,总有.

记R2中以(x,rx)为中心的开圆为Bx,其中x∈R2,rx为正有理数,且令点集

试证明不论如何选择rx,总有

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第10题
在射影平面P2(R)上,设共点于0的3条直线l1,l2,l3的齐次坐标分别是[(-1,0,3)],[(0,1,5)],[(1,1,2)],求通过点O

在射影平面P2(R)上,设共点于0的3条直线l1,l2,l3的齐次坐标分别是[(-1,0,3)],[(0,1,5)],[(1,1,2)],求通过点O的一条直线l4,使得它们的交比R(l1,l2;l3,l4)=-3。

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第11题
试证明: (i)设且m(E)>1,则E中存在两点:P1=(x1,y1),P2=(x2,y2),其中x2-x1∈Z,y2-y1∈Z(Z是整数集). (ii)设是

试证明:

(i)设且m(E)>1,则E中存在两点:P1=(x1,y1),P2=(x2,y2),其中x2-x1∈Z,y2-y1∈Z(Z是整数集).

(ii)设是以原点(0,0)为中心的对称凸集,且m(S)>22,则S包含整数格点P=(x,y)≠(0,0).此外,又若存在n0∈N,使得m(S)>n0·22,则S至少包含2n0个整数格点.

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