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[主观题]
设A=（aij)n×n为实可逆方阵，试用上题证明哈达玛（Hadamard)不等式
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设实方阵A=(aij)n×n的秩为，n-1+，αi为A的第i个行向量(i=1，2，…，n).求一个非零向量x∈Rn，使x与α1，α2，…，αn均正交.
设A=(aij)n×n的顺序主子阵Ak与Ak+1均可逆，则线性方程组
(4.1)
的解向量满足
，
其中uk+1和vk+1分别是方程组
，
的解向量，而
fk=(f(1)，…，f(k))T， gk=(g(1)，…，g(k))T．
设λ[sub1sub]，λ[sub2sub]，…，λ[subnsub]为可逆方阵A的全部特征值，(A[sup-1sup])[supsup]为A[sup-1sup]的伴随矩阵.证明：[img src=imagestuf1.14103CF.jpg ]的全部特征值.并对矩阵[img src=imagestuf1.143C86D.jpg ]求(A[sup-1sup])[supsup]的全部特征值.
一个方阵A=(aij)n×n称为是正、互反、一致性矩阵，是指A满足：①所有元素都是正的，即aij＞0；②互反的，即______；③一致的，即______。
复方阵Q称为酉矩阵，是指Q满足QQH=QHQ=E，或Q-1=QH(其中QH表示方阵Q的共轭转置矩阵，即
.显然实的酉矩阵就是正交矩阵).方阵未必相似于对角矩阵，但任何方阵总相似于上三角矩阵，这就是舒尔定理.
舒尔(Scher)定理：对于复方阵A，总存在酉矩阵Q，使得Q-1AQ=QHAQ=B为上三角.矩阵，且B的主对角线上元素是A的全部特征值.
试利用舒尔定理证明：设n阶方阵A的全部特征值为λ1，λ2，…，λn；f(x)=amxm+am-1xm-1+…+a1x+a0为一多项式，则方阵f(A)=amAm+am-1Am-1+…+a1A+a0E的全部特征值为f(λ1)，f(λ2)，…，f(λn).
设四阶实方阵A满足条件
=0，且IA l=9．则A*的一个特征值为_____，｜A｜2A-1的一个特征值为_____．
设A=(aij)n×n，ei=(0，…，0，1，0，…，0)T为第i个分量是1、其它分量全为零的n维列向量(i=1，2，…，n).试求Aej，
.
设H为可分Hilbert空间，{un}为H的标准正交基。假定BL(H)中元A和B相对于{un}的矩阵表示分别为(aij)和(bij)，求证：
(a)这两个矩阵的每一行和每N均为平方可和的。
(b)AB和A*分别由(cij)和(dij)表示，其中
下列映射中，不是线性变换的是
(A).
(B).
(C)，而A为取定的n阶实方阵.
(D). [ ]
