设集合S={α,β,γ,δ},在S上定义一个二元运算*,运算规则如表5-14所示,证明:〈S,*〉是一个循环群. 表5-
设集合S={α,β,γ,δ},在S上定义一个二元运算*,运算规则如表5-14所示,证明:〈S,*〉是一个循环群.
表5-14 | ||||
* | α | β | γ | δ |
α | α | β | γ | δ |
β | β | α | δ | γ |
γ | γ | δ | β | α |
δ | δ | γ | α | β |
设集合S={α,β,γ,δ},在S上定义一个二元运算*,运算规则如表5-14所示,证明:〈S,*〉是一个循环群.
表5-14 | ||||
* | α | β | γ | δ |
α | α | β | γ | δ |
β | β | α | δ | γ |
γ | γ | δ | β | α |
δ | δ | γ | α | β |
设集合S={浅色,深色},在S上定义一个二元运算*,运算规则如表5-5所示,试指出零元和单位元.
表5-5 | ||
* | 浅色 | 深色 |
浅色 | 浅色 | 深色 |
深色 | 深色 | 深色 |
表5-6 | |||||
* | α | β | γ | δ | ζ |
α | α | β | γ | δ | ζ |
β | β | δ | α | γ | δ |
γ | γ | α | β | α | β |
δ | δ | α | γ | δ | γ |
ζ | ζ | δ | α | γ | ζ |
表5-3 | ||||
* | α | β | γ | δ |
α | δ | α | β | γ |
β | α | β | γ | δ |
γ | α | β | γ | γ |
δ | α | β | γ | δ |
表5-4 | ||||
★ | α | β | γ | δ |
α | α | β | δ | γ |
β | β | α | γ | δ |
γ | γ | δ | α | β |
δ | δ | δ | β | γ |
设S={e,a,b,c},在S上定义二元运算*如表5-16所示,证明:(S,*)是一个群,但不是循环群.
表5-16 | ||||
* | e | a | b | c |
e | e | a | b | c |
a | a | e | c | b |
b | b | c | e | a |
c | c | b | a | e |
S={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,3>} 等价关系S中含有等价类 () 。
A.{3}
B.{2}
C.{1}
D.{2,3}
E.{1,3}
F.{1,2,3}
G.{1,2}
设k(s,t)为单位正方形[0,1]×[0,1]上的纯量连续函数,k不恒为0,且任取s,t∈[0,1]有k(s,t)=k(t,s)。设A定义在L2[0,1]为
,0≤s≤1, x∈L2[0,1]。
求证:存在非零实序列{λn},存在由[0,1]上的连续函数组成的标准正交序列{un},使得对x∈L2[0,1]
其中,若上述级数为无穷级数,则这个级数对0≤s≤1一致收敛。证明∑|λn|2<∞
设f是拓扑空间(X,τ)上的任意复函数,定义
φ(x,V)=sup{|f(s)-f(t)|:s,t∈V}, V∈τ,x∈V;
φ(x)=inf{φ(x,V):V∈τ),x∈V.
证明φ是上半连续的,并且f在点x连续当且仅当φ(x)=0.从而任何复函数连续点的集都是一个Gδ集.
设X=C[0,1],k为闭单位正方形
S={(s,t):0≤s,t≤1)
上的纯量连续函数。设A:X→X定义为
,0≤s≤a,x∈X
求证:A为紧算子。
设k(s,t)为单位正方形[0,1]×[0,1]上的平方可积函数。若x∈L2[0,1],令
,0≤s≤1
求证:A定义了L2[0,1]上的有界线性算子且
(a)若任取(s,t)有,则A为自伴的。
(b)A为正规的若
(17)
对所有(s,t)成立。
表5-1 | ||
* | α | β |
α | α | β |
β | β | α |
表5-2 | ||
▽ | α | β |
α | α | α |
β | α | β |
设集合A={1,2,3),那么(ρ(A),?)是群,其中?是对称差运算.求5,T∈ρ(A),使得{1,2}?S={1,3),T?{1}={2}.