设集合S={α,β,γ,δ},在S上定义两个二元运算*和★,运算规则如表5-3、表5-4所示,试指出左单位元或右单位元.
表5-3 | ||||
* | α | β | γ | δ |
α | δ | α | β | γ |
β | α | β | γ | δ |
γ | α | β | γ | γ |
δ | α | β | γ | δ |
表5-4 | ||||
★ | α | β | γ | δ |
α | α | β | δ | γ |
β | β | α | γ | δ |
γ | γ | δ | α | β |
δ | δ | δ | β | γ |
表5-3 | ||||
* | α | β | γ | δ |
α | δ | α | β | γ |
β | α | β | γ | δ |
γ | α | β | γ | γ |
δ | α | β | γ | δ |
表5-4 | ||||
★ | α | β | γ | δ |
α | α | β | δ | γ |
β | β | α | γ | δ |
γ | γ | δ | α | β |
δ | δ | δ | β | γ |
S={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,3>} 等价关系S中含有等价类 () 。
A.{3}
B.{2}
C.{1}
D.{2,3}
E.{1,3}
F.{1,2,3}
G.{1,2}
设k(s,t)为单位正方形[0,1]×[0,1]上的纯量连续函数,k不恒为0,且任取s,t∈[0,1]有k(s,t)=k(t,s)。设A定义在L2[0,1]为
,0≤s≤1, x∈L2[0,1]。
求证:存在非零实序列{λn},存在由[0,1]上的连续函数组成的标准正交序列{un},使得对x∈L2[0,1]
其中,若上述级数为无穷级数,则这个级数对0≤s≤1一致收敛。证明∑|λn|2<∞
设f是拓扑空间(X,τ)上的任意复函数,定义
φ(x,V)=sup{|f(s)-f(t)|:s,t∈V}, V∈τ,x∈V;
φ(x)=inf{φ(x,V):V∈τ),x∈V.
证明φ是上半连续的,并且f在点x连续当且仅当φ(x)=0.从而任何复函数连续点的集都是一个Gδ集.
设X=C[0,1],k为闭单位正方形
S={(s,t):0≤s,t≤1)
上的纯量连续函数。设A:X→X定义为
,0≤s≤a,x∈X
求证:A为紧算子。
设k(s,t)为单位正方形[0,1]×[0,1]上的平方可积函数。若x∈L2[0,1],令
,0≤s≤1
求证:A定义了L2[0,1]上的有界线性算子且
(a)若任取(s,t)有,则A为自伴的。
(b)A为正规的若
(17)
对所有(s,t)成立。
试证明:
设E是由n个元素形成的集合.E1,E2,…,En+1是E的非空子集,则存在r,s个不同指标:
i1,i2,…,ir;j1,j2,…,js,
使得Ei1∪…∪Eir=Ej1∪…∪Ejs.
设S:l2→l2定义为
(Sx)(i)=x(i+2),i=1,2,…,x∈l2
Tn=Sn,计算
在平面S(点集)上定义一个二元关系:
与Q位与同一条水平线上(与z轴平行或重合的直线)证明:~是S上的一个等价关系;商集S/~的元素是什么?
试证明:
设xsf(x),xsf(x)在(0,∞)上可积,其中s<t,则积分(u∈(s,t))存在且是u∈(s,t)的连续函数.