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第1题
设M为R3中的C4正则曲面，x（u1，u2)为其参数表示，P0∈M，且满足：（1)KG（P)＞0，即P0点的Gauss（总)曲率
设M为R3中的C4正则曲面，x(u1，u2)为其参数表示，P0∈M，且满足：(1)KG(P)＞0，即P0点的Gauss(总)曲率为正的；(2)在P0点，函数k1达到极大值，同时函数k2达到极小值，则P0为M的脐点．这和以下条件等价：设M为R3中的C4正则曲面，x(u1，u2)为其参数表示，P0∈M，且满足：(1’)P0为非脐点；(2’)在P0点，函数k1达极大值，同时函数k2达极小值．则KG(P0)≤0．
第2题
设曲面M：x（u，v)=（ucosv，usinv，lnu)与证明：曲面在点（u，v)处Gauss（总)曲率相等．但M与在此对应下未
证明：曲面
在点(u，v)处Gauss(总)曲率相等．但M与
在此对应下未必为等距映射．问(a，b)与
满足什么关系时，M与
在此对应下等距？
第3题
证明：负常Gauss（总)曲率曲面在平面上取极坐标系{r，θ}．（1)证明：I=dr2+r2dθ2；（2)计算rijk．
在平面上取极坐标系{r，θ}．(1)证明：I=dr2+r2dθ2；(2)计算rijk．
第4题
设曲面M的第3基本形式为Ⅲ=edu2＋2fdudv＋gdv2． 证明： （1)设曲面上无抛物点（即KG≠0处处成立)，则该
设曲面
上无抛物点(即KG≠0处处成立)，则该曲面上的点与单位球面S2在Gauss映射G：M→S2下的像G(M)是局部一对一的(是否是整体一对一的？参阅定理3．3．4)．
(0≤x＜+∞)绕轴Ox旋转
第7题
对于R3中2维定向的闭曲面（紧致、无边的曲面)，有其中M＋={P∈M｜KG（P)≥0)，g=g（M)为曲面M的亏格．
对于R3中2维定向的闭曲面(紧致、无边的曲面)，有
其中M+={P∈M｜KG(P)≥0)，g=g(M)为曲面M的亏格．
第9题
设曲面M：x（u，v)=（ucosv，usinv，lnu)与设曲面M：x（u，v)具有2阶连续偏导数，{u，v}为正交曲线网，证明曲
设曲面M：x(u，v)具有2阶连续偏导数，{u，v}为正交曲线网，证明曲面的Gauss公式：
第10题
C的正交轨线的微分方程；设曲面M.的第1基本形式为I.=D.U2+（U2+A.2)D.V2 （A.&G.T;0).求：
C的正交轨线的微分方程；
设曲面
M.的第1基本形式为
I.=
D.U2+(U2+A.2)
D.V2 (A.&
G.T;0).求：
第11题
求下列二次曲面的奇点，并说明二次曲面是否退化？ （1)χ22－χ42－2χ1χ3－2χ2χ4＝0； （2)给出P（
给出P(V)中的二阶曲面χ12＋χ22－χ3χ4＝0． 求：(1)点(1，1，0，2)的极面； (2)χ1＋χ2－2χ3＝0的极点．
