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[主观题]

设f是上的实函数,对每个x,fx是Lebesgue可测的,对每个y,fy是连续的.又设g:是Lebesgue可测的,且令h(y)=f(g(y)

设f是设f是上的实函数,对每个x,fx是Lebesgue可测的,对每个y,fy是连续的.又设g:是Lebe上的实函数,对每个x,fx是Lebesgue可测的,对每个y,fy是连续的.又设g:设f是上的实函数,对每个x,fx是Lebesgue可测的,对每个y,fy是连续的.又设g:是Lebe是Lebesgue可测的,且令h(y)=f(g(y),y).证明h在设f是上的实函数,对每个x,fx是Lebesgue可测的,对每个y,fy是连续的.又设g:是Lebe上Lebesgue可测.

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第1题
设E是中的稠密集(),f是上的实函数,使得对每个x∈E,截口fx是Lebesgue可测的,且对几乎所有的y∈,截口fy是连续的

设E是中的稠密集(),f是上的实函数,使得对每个x∈E,截口fx是Lebesgue可测的,且对几乎所有的y∈,截口fy是连续的.证明f在上是Lebesgue可测的.

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第2题
令(斜坡函数) 并设f(x)是R1上的实值函数,若对一切n,ψn(x)=φn[f(x)]在R1上连续,试证明f∈C(R1).

令(斜坡函数)

并设f(x)是R1上的实值函数,若对一切n,ψn(x)=φn[f(x)]在R1上连续,试证明f∈C(R1).

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第3题
试证明: 设f(x)是上的实值函数,则对任意的ε>0,存在R1上可测函数g(x)和点集H:,使得 m*(E)=m*(H),|f(x)-g(x

试证明:

设f(x)是上的实值函数,则对任意的ε>0,存在R1上可测函数g(x)和点集H:,使得

m*(E)=m*(H),|f(x)-g(x)|<ε,x∈H.

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第4题
设{fn}是完备度量空间X上的连续复函数序列,使对每个x∈X有f(x)=fn(x)(作为一个复数)都存在.证明:

设{fn}是完备度量空间X上的连续复函数序列,使对每个x∈X有f(x)=fn(x)(作为一个复数)都存在.证明:

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第5题
试证明: 设f(x)是R1上的实值可测函数,对(-1,1)中任意取定的x,etxf(t)在R1上可积,且令,则g(x)在(-1,1)上可

试证明:

设f(x)是R1上的实值可测函数,对(-1,1)中任意取定的x,etxf(t)在R1上可积,且令,则g(x)在(-1,1)上可积.

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第6题
试证明: 设f(x),fk(x)(k∈N)是R1上的实值函数,则,a.e.x∈R1的充分必要条件是:对任给ε>0,存在可测集:m(E)<ε,

试证明:

设f(x),fk(x)(k∈N)是R1上的实值函数,则,a.e.x∈R1的充分必要条件是:对任给ε>0,存在可测集:m(E)<ε,使得对,存在K,有

|fk(x)-f(x)|<ε(k>K).

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第7题
(1)设B是一个集,A是B上的实函数全体,当a,b∈A,而且对每个t∈T有a(t)≤b(t),那么A按此顺序也成为半序集。 (2)设

(1)设B是一个集,A是B上的实函数全体,当a,b∈A,而且对每个t∈T有a(t)≤b(t),那么A按此顺序也成为半序集。

(2)设A是所有实数对(x,y)全体,规定两对

(x1,y1),(x2,y2)

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第8题
设f(x)是(a,b)上的实值函数,则 ,是(a,b)上的可测函数。

设f(x)是(a,b)上的实值函数,则

是(a,b)上的可测函数。

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第9题
设X是连通的拓扑空间,C*(X)是X上连续复函数之集,是C*(X)中的一个等度连续函数之集.若对某个x0∈X,复数集{f(x

设X是连通的拓扑空间,C*(X)是X上连续复函数之集,是C*(X)中的一个等度连续函数之集.若对某个x0∈X,复数集{f(x0):f∈}有界,证明对每个x∈X,{f(x):f∈}都是有界的.

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第10题
设E[a,b],m(E)=0.构造[a,b]上绝对连续的单调函数f使对每个x∈E有f'(x)=∞

设E[a,b],m(E)=0.构造[a,b]上绝对连续的单调函数f使对每个x∈E有f'(x)=∞

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第11题
试证明: 设φ(x)是[0,∞)上的递增函数,f(x)以及fk(x)(k∈N)是上实值可测函数,若有 , 则fk(x)在E上依测度收

试证明:

设φ(x)是[0,∞)上的递增函数,f(x)以及fk(x)(k∈N)是上实值可测函数,若有

则fk(x)在E上依测度收敛于f(x).

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