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[主观题]

令(斜坡函数) 并设f(x)是R1上的实值函数,若对一切n,ψn(x)=φn[f(x)]在R1上连续,试证明f∈C(R1).

令(斜坡函数)

令(斜坡函数)    并设f(x)是R1上的实值函数,若对一切n,ψn(x)=φn[f(x)]在R1

并设f(x)是R1上的实值函数,若对一切n,ψn(x)=φn[f(x)]在R1上连续,试证明f∈C(R1).

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第1题
设f(x)是上的实值可测函数,若存在M∈R1,使得 m({x∈E:f(x)≥M})≥1/2, m({x∈E:f(x)≤M})≥1/2, 则称M为f的分布

设f(x)是上的实值可测函数,若存在M∈R1,使得

m({x∈E:f(x)≥M})≥1/2,

m({x∈E:f(x)≤M})≥1/2,

则称M为f的分布函数的中点,试问中点是唯一的吗?

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第2题
设是闭集,试作R1上的连续可微的递增函数,使得F={x∈R1:f'(x)=0}.

是闭集,试作R1上的连续可微的递增函数,使得F={x∈R1:f'(x)=0}.

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第3题
试证明: 设f(x)在R1上可测,φ:(0,∞)→(a,∞) (a>0)且是递增函数,则 .

试证明:

设f(x)在R1上可测,φ:(0,∞)→(a,∞) (a>0)且是递增函数,则

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第4题
试证明: 设f(x)是R1上具有正周期T的可测函数,且,则 .

试证明:

设f(x)是R1上具有正周期T的可测函数,且,则

.

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第5题
试证明: 设fn(x)(n=1,2,…)是R1上的递增函数,若存在M>0,使得|fn(x)|≤M(n∈N,x∈R1),则存在R1上的函数f(x)以及

试证明:

设fn(x)(n=1,2,…)是R1上的递增函数,若存在M>0,使得|fn(x)|≤M(n∈N,x∈R1),则存在R1上的函数f(x)以及{nk},使得

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第6题
试证明: (i)设f(x)是R1上以T>0为周期的可测函数,且,则,a.e.x∈R1. (ii),a.e.x∈R1.

试证明:

(i)设f(x)是R1上以T>0为周期的可测函数,且,则,a.e.x∈R1

(ii),a.e.x∈R1.

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第7题
设f(x)在I=(0,1)上实值可测,则存在唯一的t0∈R1,使得 (i)m({x∈I:f(x)≥t0})≥1/2. (ii)对任给ε>0,m({x∈I:f(x

设f(x)在I=(0,1)上实值可测,则存在唯一的t0∈R1,使得

(i)m({x∈I:f(x)≥t0})≥1/2.

(ii)对任给ε>0,m({x∈I:f(x)≥t0+ε})<1/2.

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第8题
试证明: (Féjer)设φ(x)同上,{λn}是实数列,f∈/(R1),则 . 注:(f∈L(R1)).

试证明:

(Féjer)设φ(x)同上,{λn}是实数列,f∈/(R1),则

注:(f∈L(R1)).

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第9题
设f是X上的复可测函数.μ是X上的正测度并且 设E={p:φ(p)<∞},并假设‖f‖∞>0.

设f是X上的复可测函数.μ是X上的正测度并且

设E={p:φ(p)<∞},并假设‖f‖>0.

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第10题
试证明: 设,则f:R1→R1在E上的图形集 Gf={(x,y):y=f(x),x∈E} 是Gδα曲集.

试证明:

,则f:R1→R1在E上的图形集

Gf={(x,y):y=f(x),x∈E}

是Gδα曲集.

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第11题
试作g∈C(R1),f(x)在R1上可测,但f[g(x)]不是可测函数.

试作g∈C(R1),f(x)在R1上可测,但f[g(x)]不是可测函数.

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