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[主观题]

试证明: 设φ(x)是[0,∞)上的递增函数,f(x)以及fk(x)(k∈N)是上实值可测函数,若有 , 则fk(x)在E上依测度收

试证明:

设φ(x)是[0,∞)上的递增函数,f(x)以及fk(x)(k∈N)是试证明:  设φ(x)是[0,∞)上的递增函数,f(x)以及fk(x)(k∈N)是上实值可测函数,若上实值可测函数,若有

试证明:  设φ(x)是[0,∞)上的递增函数,f(x)以及fk(x)(k∈N)是上实值可测函数,若

则fk(x)在E上依测度收敛于f(x).

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第1题
试证明: 设f(x)在R1上可测,φ:(0,∞)→(a,∞) (a>0)且是递增函数,则 .

试证明:

设f(x)在R1上可测,φ:(0,∞)→(a,∞) (a>0)且是递增函数,则

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第2题
试证明: 设f(x)是[0,1]上的递增函数,则存在fn∈C([0,1])(n∈N),使得(0≤x≤1).

试证明:

设f(x)是[0,1]上的递增函数,则存在fn∈C([0,1])(n∈N),使得(0≤x≤1).

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第3题
设f(x)是(a,b)上的递增函数,.若对任给ε>0,存在(i=1,2,…),使得 ,, 试证明f'(x)=0,a. e.x∈E.

设f(x)是(a,b)上的递增函数,.若对任给ε>0,存在(i=1,2,…),使得

,

试证明f'(x)=0,a. e.x∈E.

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第4题
试证明: 设f(x),g(x)是[0,∞)上非负递增函数,φ(x),ψ(x)是[0,∞)上非负可测函数,则对a<b,有 .

试证明:

设f(x),g(x)是[0,∞)上非负递增函数,φ(x),ψ(x)是[0,∞)上非负可测函数,则对a<b,有

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第5题
试证明: 设fn(x)(n=1,2,…)是R1上的递增函数,若存在M>0,使得|fn(x)|≤M(n∈N,x∈R1),则存在R1上的函数f(x)以及

试证明:

设fn(x)(n=1,2,…)是R1上的递增函数,若存在M>0,使得|fn(x)|≤M(n∈N,x∈R1),则存在R1上的函数f(x)以及{nk},使得

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第6题
试证明: 设f∈C([a,b]),是可数集.若对任意的x∈[a,b)\D,均存在δ>0,使得f(t)>f(x)(x<t<x+δ),则f(x)是严格递增

试证明:

设f∈C([a,b]),是可数集.若对任意的x∈[a,b)\D,均存在δ>0,使得f(t)>f(x)(x<t<x+δ),则f(x)是严格递增函数.

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第7题
设且m(E)=0,试证明存在[a,b]上是连续且单调上升的函数f(x),使得f'(x)=+∞,x∈E.

且m(E)=0,试证明存在[a,b]上是连续且单调上升的函数f(x),使得f'(x)=+∞,x∈E.

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第8题
试证明: (i)设f(x)是R1上以T>0为周期的可测函数,且,则,a.e.x∈R1. (ii),a.e.x∈R1.

试证明:

(i)设f(x)是R1上以T>0为周期的可测函数,且,则,a.e.x∈R1

(ii),a.e.x∈R1.

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第9题
试证明: 设xsf(x),xsf(x)在(0,∞)上可积,其中s<t,则积分(u∈(s,t))存在且是u∈(s,t)的连续函数.

试证明:

设xsf(x),xsf(x)在(0,∞)上可积,其中s<t,则积分(u∈(s,t))存在且是u∈(s,t)的连续函数.

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第10题
试证明: 设f(x),g(x)是[0,∞)上正值可测函数,且对任意的a>0,f∈L([0,a]),g∈L([0,a]).若有 ,, 则存在充分大

试证明:

设f(x),g(x)是[0,∞)上正值可测函数,且对任意的a>0,f∈L([0,a]),g∈L([0,a]).若有

则存在充分大的值r,使得对满足0≤s≤r的s,均有

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第11题
设f(x)在[a,b]上可导,且有m<f'(x)<M及f(a)=0,试证明

设f(x)在[a,b]上可导,且有m<f'(x)<M及f(a)=0,试证明

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