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[主观题]

若曲面M:x(u,v)在某一参数(u,v)下,xuu=0=xuv,证明:曲面M为柱面.

若曲面M:x(u,v)在某一参数(u,v)下,xuu=0=xuv,证明:曲面M为柱面.

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第1题
设曲面M:x(u,v)=(ucosv,usinv,lnu)与证明:曲面在点(u,v)处Gauss(总)曲率相等.但M与在此对应下未

证明:曲面

在点(u,v)处Gauss(总)曲率相等.但M与

在此对应下未必为等距映射.问(a,b)与

满足什么关系时,M与

在此对应下等距?

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第2题
设曲面M:x(u,v)=(ucosv,usinv,lnu)与设曲面M:x(u,v)具有2阶连续偏导数,{u,v}为正交曲线网,证明曲

设曲面M:x(u,v)具有2阶连续偏导数,{u,v}为正交曲线网,证明曲面的Gauss公式:

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第3题
设曲面M:x(u,v)=(ucosv,usinv,lnu)与考察参数区域为上半平面D={(x,y)|y>0},而其第1基本形式为

考察参数区域为上半平面D={(x,y)|y>0},而其第1基本形式为

并称这个度量为Poincae度量.证明:它的测地线为正交于x轴的上半平面的半圆或半直线(即平行y轴的半直线).

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第4题
设曲面M:x(u,v)=(ucosv,usinv,lnu)与(Riemann流形基本定理)n维C∞Riemann流形(M,g)=(M,(,>)上

(Riemann流形基本定理)n维C∞Riemann流形(M,g)=(M,(,>)上存在唯一的Riemann联络.

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第5题
设K是惟一分解整环,又u,v∈K,u≠0.且 (u,v)=1.f(x)∈K[x]. 证明:在K的商域F中,若是f(x)的根.

设K是惟一分解整环,又u,v∈K,u≠0.且 (u,v)=1.f(x)∈K[x]. 证明:在K的商域F中,若

是f(x)的根.则 (u-v)|f(1), (u+v)|f(一1).

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第6题
设D为中的域且其边界由简单光滑曲线组成。设X为所有函数使得u在D中有连续有界的偏导数ux,uy。若u,v∈X,令

设D为中的域且其边界由简单光滑曲线组成。设X为所有函数使得u在D中有连续有界的偏导数ux,uy。若u,v∈X,令

其中ds为弦长度微分。求证上式定义了X上的一个内积。

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第7题
若d(x)=(f(x),g(x)),则存在u(x),v(x),使 d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x). 若d(x1,x2,…,xn)=(f(x1,x2,…,xn),g(x1,

若d(x)=(f(x),g(x)),则存在u(x),v(x),使

d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x).

若d(x1,x2,…,xn)=(f(x1,x2,…,xn),g(x1,x2,…,xn)),n≥2,则存在u(x1,x2,…,xn),v(x1,x2,…,xn),使d(x1,x2,…,xn)=u(x1,x2,…,xn)f(x1,x2,…,xn)+v(x1,x2,…,xn)g(x1,x2,…,xn)?

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第8题
在什么条件下,由方程组 1° 能唯一确定一组C(1)类函数u=u(x,y)与v=v(x,y)?2° 能唯一确定一组C(1)类函数x=

在什么条件下,由方程组

1° 能唯一确定一组C(1)类函数u=u(x,y)与v=v(x,y)?2° 能唯一确定一组C(1)类函数x=x(u,v)与y=y(u,v)?

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第9题
在汽液两相区的湿蒸汽有M=Msvx+Msl(1-x)(M=V、U、H、S等),试证明压缩因子Z同样满足此式。 (2)证

在汽液两相区的湿蒸汽有M=Msvx+Msl(1-x)(M=V、U、H、S等),试证明压缩因子Z同样满足此式。 (2)证明

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第10题
若V为复线性空间,τ为V上的线性变换,且0≠u∈V,<τ(u),u>=0,则τ=0(零变换). 若V为实线性空间,τ为V上线性变换,

若V为复线性空间,τ为V上的线性变换,且0≠u∈V,<τ(u),u>=0,则τ=0(零变换).

若V为实线性空间,τ为V上线性变换,若u∈V,<τ(u),u>=0则τ=0?

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第11题
试证:于复数平面区域R中,在每一使f'(z)不等于零的点,u(x,y)沿曲线C:v(x,y)=const变动得最快,并且沿此曲

试证:于复数平面区域R中,在每一使f'(z)不等于零的点,u(x,y)沿曲线C:v(x,y)=const变动得最快,并且沿此曲线的变化率(方向微商)恒不等于零.

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