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设共线四点P1(3，1，－2)，P2(1，3，1)，P3(2，－2，－3)，P4(1，－5，－4)，求(P1P2，P3P4)．
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设P1、P2分别是χ轴、y轴上的无穷远点，P3是斜率为1的方向上的无穷远点，且(P1P2，P3P4)＝k，求P4的坐标．
在射影平面P2(R)上，设共线3点A[(1，2，5)]，B[(1，0，3)]，C[(-1，2，-1)]，在直线AB求一点D，使R[(A，B；C，D)]=5。
设全体素数从小到大顺序排列为：p1=2，p2=3，p3，p4，…．试证明：
设a1，a2，…，an≥0，P1，P2，…，Pn＞0，且P1+P2+…+Pn=1，试证
a1p1a2p2…anpn≤P1a1+P2a2+…+Pnan
在一水平面上有两根相互平行的固定导轨M1N1和M2N2，质量m1的物块P1穿在M1N1上，质量m2的物块P2穿在M2N2上，P1与P2间用一根不可伸长的轻绳连接，开始时绳处于松弛状态。今使P1获得沿导轨方向速度υ0，P2静止，如图所示，设系统处处无摩擦，P1运动一段时间后绳被拉直，其内产生拉力，同时使导轨与相应的物块间有力的作用，这些力的作用时间Δt非常短。试就下述两种情况，计算Δt刚结束时P1，P2运动速度u1，u2
(1)绳的作用不损耗系统动能；
(2)绳的作用使P1，P2沿绳长方向的速度相同。
设P0为两曲线x(s)与
的交点，在P0的一旁邻近取点P1，P2，它们分别属于曲线x(s)与
，且使曲线弧长
． 若
则称曲线x(s)与
在P0点有n阶接触． 证明： (1)两曲线x(s)与
具有n阶接触等价于
； (2)曲线x(s)的切线y(s)=x(s0)+(s一s0)x(s0)与曲线x(s)在s0有1阶接触的唯一直线； (3)若连通C2曲线x(s)每一点的切线与曲线x(s)有2阶接触，则曲线x(s)为直线．
设W是(0，1)中的无理数，则存在唯一的收敛级数表示式：
其中pi皆整数：1≤P0＜p1＜p2＜….
设G4={P=(p1，p2，p3，p4)，pi∈{0，1}}，
是G4上的二元运算，定义为对于任意
X=(x1，x2，x3，x4)， Y=(y1，y2，y3，y4)∈G4，
其中，
的运算表如表5-11所示．证明：({(0，0，0，0)，(1，1，1，1)}，0)是群(G4，)的子群．
| 表5-11 | ||
| bar{vee } | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
设有两种商品，价格分别为P1和P2。效用函数为
其中，Xi为第i种商品需求量，
设u为一实数，X*=(x1，x2，…，xm)∈S1*，Y*=(y1，y2，…，yn)∈S2*，则u为对策值且X*为局中人P1的最优策略，Y*为局中人P2的最优策略的充分必要条件是：对于1≤i≤m，1≤j≤n，有
E(i，Y*)≤u≤E(X*，j)
