题目内容
（请给出正确答案）
若一条连通曲线x(s)(s为弧长)的主法线总是另一条曲线
为弧长)的从法线，则存在常数λ0，使得曲线x(s)的曲率k和挠率τ满足：k=λ0(k2+τ2)．
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如果连通曲线x(s)(s∈(α，β)为弧长)的所有密切平面都垂直于一条固定直线，证明：该曲线x(s)(α＜s＜β)必为平面曲线．
设曲线C：x(s)(s为弧长)为常挠曲率曲线．证明曲线
：
为x(s)的Bertrand侣线，其中a，b为常数，k，τ，V2分别为x(s)的曲率、挠率和主法向量，x(s)为其本身的从法向量，即x(s)=V3(s)．
设P0为两曲线x(s)与
的交点，在P0的一旁邻近取点P1，P2，它们分别属于曲线x(s)与
，且使曲线弧长
． 若
则称曲线x(s)与
在P0点有n阶接触． 证明： (1)两曲线x(s)与
具有n阶接触等价于
； (2)曲线x(s)的切线y(s)=x(s0)+(s一s0)x(s0)与曲线x(s)在s0有1阶接触的唯一直线； (3)若连通C2曲线x(s)每一点的切线与曲线x(s)有2阶接触，则曲线x(s)为直线．
如果一条k(s)＞0的曲线x(s)(s∈(α，β为弧长)的所有法平面都包含非零的常向量e，则这条曲线x(s)(α＜s＜β)为平面曲线．
证明：具有常曲率k≠0的挠曲线x(s)为Bertrand曲线(s为弧长)，且x(s)的侣线
是x(s)的曲率中心的轨迹；并且
的曲率
，挠率
给定一个中心在m、半径为r＞0的球面．设S为曲线C：x(s)的弧长，令f(s)一Ex(s)一m]2一r2．如果在s0满足下列条件：f(0)(s0)=f(s0)=[x(s0)一m]2一r2=0 (r为常数)，f(s0)=f(s0)=…=f(n)(s0)=0，则称曲线x(s)与已给球面有n阶接触．证明：(1)如果C∞曲线x(s)落在已给球面上，则曲线x(s)与球面有任意阶接触；(2)如果τ(s0)=0，则曲线x(s)在x(s0)与某一球面有3阶接触
．从而，平面连通曲线不能与球面处处有3阶接触，除非曲线本身属于球面的一个圆．
设k(s0)≠0．证明：曲线C：x(s)(s为其弧长)与已给球面(球心为m)在s0有2阶接触
其中t可以任意选定．上式右边当固定s0时得到一条直线，称为曲线x(s)在s0处的曲率轴或极轴，而点
称为曲率中心，以曲率中心为圆心、
为半径的圆落在密切平面上，称为曲线x(s)在s0处的密切圆(见习题1．4．3图)．(2)设k(s0)≠0，τ(s0)
设曲面M上的一条曲率线C：x(s)(s为弧长)，它的每一点处的从法向量V3(s)与曲面在该点处的法向量n(s)成定角，且V3(s).n(s)≠±1(即V3s(s)不平行于n(s))．证明：C为平面曲线．
其中s为弧长参数．
