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[主观题]
粒子作一维运动，当总能量算符为 （1) 时，能级为E．如总能量算符变成 （2) 求能级En．
粒子作一维运动，当总能量算符为
时，能级为E
求能级En．
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粒子作一维运动，当总能量算符为
时，能级为E
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作为一维铁磁体的简化模型，考虑自旋为
试证明(a)总自旋
为守恒量；(b)在体系的基态下，相邻粒子之间必然构成自旋三重态(自旋指向互相“平行”)．讨论基态能级的简并度．
有一种简化的“一维氦原子”模型，原子核一电子以及电子-电子间的作用势均用δ势阱(垒)表示，总能量算符取为
(1)
其中x1、x2表示电子1和2的坐标，Ze是原子核电荷．如采用自然单位，即距离以a0/Z为单位(a0是Bohr半径)，能量以Z2e2/a0为单位，则H可以简化成
(2)
如视电子-电子作用势(上式中最后一项)为微扰，试求体系的能级(一级近似)，并和三维氦原子的微扰论结果比较．
电荷为q的谐振子，t＜0和t＞τ时处于自由振动状态，总能量算符为
能量本征态记为ψn，能级
，总能量算符变成
(2)
H的本征态记为φn，本征值为En．
设t≤0时该谐振子处于基态ψ0，求t＞τ时的波函数ψ(x，t)，以及ψ(x，t)中各能量本征态ψn的成分．
在原子核(电荷Ze)周围运动的N电子体系，忽略自旋和相对论效应后，总能量算符可以写成
H=T+V (1)
其中
对于体系的任何一个束缚态，证明位力定理：
质量μ，电荷q的粒子在磁场B=▽×A中运动，定义机械角动量算符
L=μr×v (1)
其中v为速度算符．计算dv/dt和dL/dt．
设能级εj(为了方便，取εj=0)上有N个粒子，粒子间有“对力”(airing force)作用，总Hamilton量为
其中
试求这N个粒子体系的能谱．
(1)设E和P是粒子体系在实验室参考系∑中的总能量和总动量(p与x轴方向夹角为θ)。证明在另一参考系∑'(相对于∑以速度v沿x轴方向运动)中的粒子体系总能量和总动量满足
(2) 某光源发出的光束在两个惯性系中与x轴的夹角分别为θ和θ'，证明：
(3) 考虑在∑系内立体角为dΩ=dcosθdφ的光束，证明当变换到另一惯性系∑'时，立体角为
对于两个自旋1/2粒子组成的体系，令
r=r1-r2，n=r/r， (r方向单位矢量)
定义张量算符(取h=1)
(1)
(a)证明(S12)2=4S2-2S12，S为总自旋．再进而证明S12的任意正整数次幂均可表示成S12和S2的线性组合；
(b)求S12的本征值；
(c)令n经历各种方向(机会均等)，求S12的平均．
对于自旋为1/2的粒子，取h=1，则
众所周知，质量m，电荷q的粒子处于状态ψ(r)时，空间各处的电荷密度及电流密度为
ρ(r)=qψ*(r)ψ(r) (1)
今引入电荷密度算符及电流密度算符
其中
试解释算符
