设n阶实对称矩阵A满足A2x=0,其中x∈Rn.试证:Ax=0.
设n阶实对称矩阵A满足A2x=0,其中x∈Rn.试证:Ax=0.
设n阶实对称矩阵A满足A2x=0,其中x∈Rn.试证:Ax=0.
设A是n阶实对称正定矩阵,则由格式(2.21)得到的向量序列{r(k)}和{z(k)}满足
[r(k),z(k-1)]=0,[r(k),r(l)]=0,[z(k),Az(l)]=0(k≠l).(2.22)
复方阵Q称为酉矩阵,是指Q满足QQH=QHQ=E,或Q-1=QH(其中QH表示方阵Q的共轭转置矩阵,即.显然实的酉矩阵就是正交矩阵).方阵未必相似于对角矩阵,但任何方阵总相似于上三角矩阵,这就是舒尔定理.
舒尔(Scher)定理:对于复方阵A,总存在酉矩阵Q,使得Q-1AQ=QHAQ=B为上三角.矩阵,且B的主对角线上元素是A的全部特征值.
试利用舒尔定理证明:设n阶方阵A的全部特征值为λ1,λ2,…,λn;f(x)=amxm+am-1xm-1+…+a1x+a0为一多项式,则方阵f(A)=amAm+am-1Am-1+…+a1A+a0E的全部特征值为f(λ1),f(λ2),…,f(λn).
设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1=(-1,2,-1)T,α2=(0,-1,1)T是线性方程组AX=0的两个解.(1)求A的特征值与特征向量;(2)求正交矩阵Q和对角矩阵A,使得ATAQ=A;(3)求A及,其中E为三阶单位矩阵.
设3阶实对称矩阵A的特征值为λ[sub1sub]=6,λ[sub2sub]=λ[sub3sub]=3,α[sub1sub]=(1,1,1)[supTsup]是属于λ[sub1sub]=6的特征向量.
A.A有实特征根,且与对角矩阵相似
B.若B1,B2是可交换的,则A有实特征根,且与对角矩阵相似
C.若B1,B2都对称,则A有实特征根,且与对角矩阵相似
D.ATA有实特征根,且与对角矩阵相似
设n阶矩阵B满足关系式B3+B2-B-E=0,且|B+E|≠0,证明B可逆,并求扩B-1。
设实对称矩阵An×n的特征值如式(1.18),则
λ1=min{xTAx|x∈Rn,‖x‖2=1}, (1.19)
λn=max{xTAx|x∈Rn,‖x‖2=1}. (1.20)
设A为n阶正矩阵,若存在某个x∈Cn,x≥0,x≠0,Ax=λx,试证x为Perron向量的倍数且λ=γ(A).
设列矩阵α=(a,0,…,0,a)T,a<0;E为n阶单位矩阵,矩阵A=E-ααT,B=E+(1/a)ααT,其中A的逆矩阵为B,则a=________.