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设H为Hilbert空间，{un}为H的无穷标准正交基，对n=1，2，…，设Fn=span{u1，u2，…un}。若Pn为从H到F，，的正交投影．求证：
(a)任每一x∈H有Pnx→x。
(b)‖Pn-I‖不收敛到0。
设k(s，t)为单位正方形[0，1]×[0，1]上的纯量连续函数，k不恒为0，且任取s，t∈[0，1]有k(s，t)=k(t，s)。设A定义在L2[0，1]为
求证：存在非零实序列{λn}，存在由[0，1]上的连续函数组成的标准正交序列{un}，使得对x∈L2[0，1]
其中，若上述级数为无穷级数，则这个级数对0≤s≤1一致收敛。证明∑|λn|2＜∞
(狄利克莱判别法)设
若向量β满足关系式4α1＋β＝2α2，则向量β＝_______．设H为Hilbert空间，{un}为H的可数标准正交集，{un}不一定为完全的。{kn}为有界纯量序列，用E表示集合{kn:n=1，2，…}。对x∈H令
求证：
(a)A∈BL(H)且
(b)
(c)若
设级数
设幂级数f(x)=a0+a1x+…+anxn+…于x=1处为收敛．又设0＜α＜1．则下列幂级数
必于h=1-α处为收敛，其和为f(1)．[哈兑-列脱胡特]
设{un：α∈L}为Hilbert空间H的标准正交基。设A∈BL(H)使得
求证：
(a)
(b)若{vi：i∈J}为H的另一标准正交基，则
(c)A为紧算子。
[使(11)成立的算子称为Hilbert-Schmidt算子。]
若对矩阵范数‖·‖，有‖E(0)‖=q＜1，则格式(6.19)收敛，且有
X(k+1)=X(k)(2I-AX(k)) (k=0，1，2，…) (6.19)
