设f(x)在[a,b]上有界可积,且对任意两点x,y,∈[a,b]及任意λ∈(0,1)有f(λx+(1-λ)y)≤λf(x)+(1-λ)f(y),证明
设f(x)在[a,b]上有界可积,且对任意两点x,y,∈[a,b]及任意λ∈(0,1)有f(λx+(1-λ)y)≤λf(x)+(1-λ)f(y),证明
设f(x)在[a,b]上有界可积,且对任意两点x,y,∈[a,b]及任意λ∈(0,1)有f(λx+(1-λ)y)≤λf(x)+(1-λ)f(y),证明
(黎曼-莱贝克定理的扩充)设K(x,y)是在平面区域-∞<x<∞,0≤y<ω上的有界可测函数,且是变数y的周期函数,其周期为ω又设K(x,λx)对于每一个充分大的λ而言,都是-∞<x<∞上的可测函数.则对于任意一个莱贝克可积函数f(x),下面的公式常常成立:
[徐利治]
设X和Y为赋范空间,φ:为共轭双线性泛函。对x∈X,
y∈Y,令
求证:
(a)若φ为有界的,则它在X×Y上连续。
(b)若φ为有界的,则任取x∈X,y∈Y有fy∈X',fx∈Y'
(c)若任取x∈X,y∈Y,有fy∈X',fx∈Y'且X或Y为Banach空间,则φ必为有界的。
(富氏积分定理)设函数f(t)在任何有限间隔上都是黎曼可积,并且,又设在一点t=x的双边邻域内f(t)为有界变差,则有下列的富氏积分公式:
设f(x)在I=(0,1)上实值可测,则存在唯一的t0∈R1,使得
(i)m({x∈I:f(x)≥t0})≥1/2.
(ii)对任给ε>0,m({x∈I:f(x)≥t0+ε})<1/2.
设X是复赋范空间。设F:C→X使得对X'中每个x',x'·F是有界的且在上是解析的,证明F是常函数。