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原始信号x(n)=sin(πn／8)中加入随机噪声信号，再用差分方程 y(n)一0．8y(n一1)=x(n)+0．2x(n一1) 应用filter函数对合成的信号进行滤波，并对滤波前后的信号进行比较。
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IIR滤波技术的一个应用就是产生和恢复用于按键电话机的双音多频信号(DTMF)。按键电话机的键盘如图3-12所示。
每当按下一个按键时，产生一对音频信号，其中一个信号对按键的行编码，另外一个信号对列编码。构成双音多频信号对的单音可以通过对IIR滤波器上加一个脉冲函数来产生。滤波器输出的z变换是传输函数H(z)与输入的Z变换X(z)的乘积
Y(z)=H(z)X(z)
脉冲函数的Z变换为X(z)=1，所以此时Y(z)=H(z)，Y(Ω)=H(Ω)。这样，输出信号的频谱与滤波器的频率响应是一样的。单音由正弦波信号产生，所以能够产生单音信号的滤波器传输函数与正弦波信号的Z变换相同
Ω0为待求音的数字频率。该音频发生器的差分方程为
y(n)=2cosΩ0y(n-1)-y(n-2)+sinΩ0x(n-1)
令a1=-2cosΩ0，a2=1，b1=sinΩ0。如图3-13所示，为了直观，采用直接Ⅰ型表示。产生一个DTMF信号需要两个这种音频发生滤波器。下面的例子说明了如何设计音频发生器来产生指定的音频信号。
要设计滤波器产生的单音信号为1209Hz，采样频率为8kHz，首先画出滤波器形状，然后求出滤波器的脉冲响应，最后画出脉冲响应的幅度频谱。
试证明：
设有数列{θn}，{pn}：
fn(x)=|sin(nx+θn)pn(x∈(0，2π))，
则fn(x)在(0，2π)上依测度收敛于0．
现需要对某变电器中自动控制设备设置一个异动的实时检测环节，它能监视该变电自动控制设备的工作状况，其简化模型如图2-25所示。
已知临近的变电器产生的啾啾噪声对这一实时检测环节产生加性干扰，有可能影响控制中心作出正确判决。已知控制中心接收到10s已经受到噪声污染的信号xn(t)，记录的波形，如图2-26所示。为了有效分离噪声，需要单独检测加性噪声源特性，于是在附近的变电器处记录得20s噪声m(t)其时域波形，如图2-27所示。试判断噪声对原信号的污染程度并从xn(t)中恢复出原始信息。
产生以上两个信号波形的源代码如下：
T=0.035；tb=0:T:20；F=1/(T)；%x+n补零滤波
f0=2；t1=1；f1=6；%连续时间噪声信号m(t)波形演示
y1=20*chirp(tb，f0，t1，f1)；%啾啾噪声m(t)
figure(1)；
plot(tb，y1)；%记录的20秒噪声波形
title('噪声波形')；xlabel('Time(s)')；ylabel('Amplitude')；
n=0: 0.005: 10；Ts=0.005；Fs1/(Ts)；%采样参数设置
x1=cos(2*pi*65*n). *[cos(2*pi*20*n)+1]；%原始信号x(n)模型：由x1和x2的乘积构成
v=zeros(1，2000)：
v(100)=0.5；v(1)=2.5；v(150)=-1.2；v(250)=1；v(700)=3.5；
v(550)=1.5；v(950)=1.5；v(1550)=-2.5；v(1850)=1.5；
u=sinc(3*n)+1：
w=conv(u, v)；
x2(1: 2001)=w(1: 2001)；
x=x1. *x2;
f0=2；t1=1；f1=6；%啾啾噪声m(n)用y1表示
y1=20*chirp(n，f0，t1，f1)；
xn=y1+x；%加性干扰下的受污染信号xn(t)=x(n)+m(n)
figure(2)；
plot(n，xn)；%记录的10秒受污染信号波形
title('受污染信号波形'); xlabel('Time(s)')；ylabel('Amplirude')；
已知n阶最平幅度特性(即Butterworth特性)低通滤波器的模平方特性为
其中f3dB为滤波器的3dB带宽。求n=1，2，3，4，5滤波器的等效噪声带宽。[提示]
[MATLAB]
n=[1，2，3，4，5]；y=pi./(2*n)；x=sin(pi./(2*n))；z=y./xz=1.5708 1.1107 1.0472 1.0262 1.0166
设伪球面x(φ，θ)=(acosφcosθ，acosφsinθ，a[ln(secφ+tanφ)一sinφ]) (a＞0)．证明：
