设α,β,…,λ为一组正数,而α+β+…+λ=1.则 此处f(x),g(x),…,l(x)均为正的可积分函数
设α,β,…,λ为一组正数,而α+β+…+λ=1.则
此处f(x),g(x),…,l(x)均为正的可积分函数
设α,β,…,λ为一组正数,而α+β+…+λ=1.则
此处f(x),g(x),…,l(x)均为正的可积分函数
设a1,a2,…,an为一组不全相同之正数,则对于幂平均值Ms(a)=M.而言,于s>t>0时常有不等式
又若f(x)≥0是[a,b]上的一个可积分函数(不等于常数),则对于Ms(f)=Ms而言,于s>t>0时亦有同样的不等式
[徐利治]
设g(x)于x>0时为单调增函数,且
又设γ为一正数而下列的极限
在间隔1-γ≤α≤1+γ内存在且连续(即f(α)为一连续函数).于是我们有
设k为正常数而a<ξ<6.求证对固定的数值a,b,ξ,k而言,有下列渐近式
此处△>0为任意大正数.
设E为Rn中任一子集,α为给定正数。对于任意的ε>0,令
其中d(Ek)表示Ek的直径,且下确界对一切满足而
d(Ek)<ε, k∈N
的集列{Ek}而取,再令
试证:Hα为基本集Rn上的外测度,并满足条件:若Hα(E)<∞,则当β>α时,Hβ(E)=0。Hα称为豪斯道夫(F.Hausdorff)测度。
设α1,α2,…,αp为p个任意正数,又设fv(t)=1αv-1·t+2αv-1·t2+…+nαv-1·tn+…,(v=1,2,…,p)
试证:此处多重积分的积分区域S为由下列条件所规范:
S: x1≥0, x2≥0,…,xp-1≥0,x1+x2+…+xp-1≤1.
令S为由下列条件所规范的空间区域:
S:x≥0,y≥0.z≥0,x+y+z≤h.又设F(u)为u的连续函数.试证:
此处α,β,γ为任意正数.[柳维尔]