设X和Y是Banach空间。设Z是X的子空间,F:Z→Y是线性映射,它的图像在X×Y中是闭的。对z∈Z,设
‖z‖F=(‖z‖2+‖F(z)‖2)1/2
证明Z在这个范数下是Banach空间且F∈BL(z,Y)[‖·‖F称为F的图范数。]
设X,Y,Z是Banach空间,{G。:a∈A)是一族从y到Z的有界线性映射。设若对所有A中的a有G。(y)一0,则必有y===0。证明若F:X—y是线性的且对A中每个α,Gα·F∈BL(X,Z),则F∈BL(X,Y)
设X是Banach空间,T是X上线性紧算子,g在中开圆盘Br={z∈:|z|<r}上解析,且g(0)=0,σ(T)Br.证明g(T)也是线性紧算子
设{Tt:t≥0}是Banach空间X上的C0类线性算子半群,A为其无穷小生成元,D(A)表示A的定义域,且x,y∈X有.证明x∈D(A),且Ax=y.
证明广义的Liouville定理:设X是Banach空间,x=x(t):C→X为向量值解析函数,且‖x(t)‖在上有界.则x(t)在X中为常向量.
设X是复Banach空间,,g是解析函数且使解析演算g(T)是紧算子.又设σ(T)是不可数集.证明g在某点的邻域内必为常数函数.
设X是Banach空间,Y是任一个赋范空间。若F:X→Y是从X到R(F)的线性同胚,且R(F)在Y中稠密,证明R(F)=Y