设函数f(t)在[0,+∞)连续,且满足方程 求f(t)
设函数f(t)在[0,+∞)连续,且满足方程
求f(t)
设函数f(t)在[0,+∞)连续,且满足方程
求f(t)
设f(x)在(0,+∞)内连续,,且对所有的x,t∈(0,+∞),满足条件:,求f(x).
设β(t)及φ(t)在每一有限间隔[0,T]上都是有界变差函数且于t→∞时β(t)→B,φ(t)→±∞,又设β(t)在[0,∞)内连续并且对一切T>0而言有条件Vφ≠(T)/|φ(T)|<K(K为常数).于是有
(拉普拉斯的渐近积分定理)设φ(x),h(x)及f(x)=eh(x)定义在有穷或无穷间隔a≤x≤b上且满足下列各条件:
(i)φ(x)(f(x))n在[a,b]上为绝对可积(n=0,1,2,…).
(ii)函数h(x)在[a,b]的一个内点ξ处达到有效最大值(即对[a,b]间一切异于ξ的x点而言总是h(ξ)>h(x+0),h(ξ)>h(x-0)).并设h(x)在ξ的邻域内有二级的连续微商而h'(ξ)=0,h"(ξ)<0.
(iii)φ(x)在x=ξ处连续,而φ(ξ)≠0.于是当n→∞时即有下列的渐近公式:
设函数F(x),G(x)在(-∞,+∞)上均有定义,且满足:
(1)对任给x,y∈(-∞,+∞),有
F(x+y)=F(x)G(y)+F(y)G(x)
(2)F(0)=0,F'(0)=1,G'(0)=0证明:函数F(x)在(-∞,+∞)上可导,且F'(x)=G(x)
试证明:
设f(x,t)定义在(a,b)×(a,b)上,且对取定的t∈(a,b),f(x,t)是x在(a,b)上的连续可微函数;对取定的x∈(a,b),f(x,t)是t在(a,b)上的连续函数,若存在F∈L((a,b)),使得|f'x(x,t)|≤F(t),则在(a,b)上可微,且有.
设f(x)在[0,a]连续,f(0)=0,且f'(x)在(0,a)内单调增(严格单调增),证明函数f(x)/x在(0.a)内单调增(严格单调增).
证明: 我们只给出f'(x)单调增时的证明,严格单调增时的证明类似.
设f(x)在[0,+∞)上连续,在(0,+∞)内可导且满足
f(0)=0,f(x)≥0,f(x)≥f'(x)(),证明:f(x)=0.
设函数f(x)满足:f(-x)=-f(x),且在区间(0,+∞)内,f"(x)>0. 则f(x)在(-∞,0)内是( ).
(A)凹的 (B)凸的
(C)可能是凹的也可能是凸的 (D)以上都不对
设f是[0,1]上的实函数,γ(t)=t+if(t),f的弧长定义为γ在[0,1]上的全变差.证明:当且仅当f为有界变差函数时弧长有限.若f是绝对连续的,则其弧长为
设f是拓扑空间(X,τ)上的任意复函数,定义
φ(x,V)=sup{|f(s)-f(t)|:s,t∈V}, V∈τ,x∈V;
φ(x)=inf{φ(x,V):V∈τ),x∈V.
证明φ是上半连续的,并且f在点x连续当且仅当φ(x)=0.从而任何复函数连续点的集都是一个Gδ集.