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[主观题]

设X为赋范空间,T∈BL(X),设Y为对应于T的某个特征值λ的特征空间。求:T在Y上限制的谱。

设X为赋范空间,T∈BL(X),设Y为对应于T的某个特征值λ的特征空间。求:T在Y上限制的谱。

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第1题
设X,Y,Z为赋范空间,F∈BL(X,Y),G∈BL(Y,Z)。求证:(G·F)'=F'·G'

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第2题
设X,Y是赋范空间,F∈BL(X,Y)。证明若F映X的开子集为Y的开子集,则F是满射。

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第3题
设X为赋范空间,Ω是X的有界开凸子集,θ∈Ω,T:→X为全连续算子,为Ω的边界.若下列条件之一满足:

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第4题
设X,Y为赋范空间,F∈CL(X,Y),问:是否有

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第5题
若X为赋范空间,A∈BL(X)为可逆的,求证:

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第6题
设Y是赋范空间X的子空间,g∈Y'且f∈X'是g的Hahn-Banach延拓。证明:
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第7题
设X是赋范空间,C是X中凸集,,证明当x∈,有

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第8题
设H为Hilbert空间,A∈BL(H)。设存在非零纯量列{cn}及非零正交投影列{Pn}使得:任取n≠m有PnPm=0, , x∈H (40)

设H为Hilbert空间,A∈BL(H)。设存在非零纯量列{cn}及非零正交投影列{Pn}使得:任取n≠m有PnPm=0,

, x∈H (40)

cn→0,每一个R(Pn)都为有限维子空间。求证:

(a)A为紧正规的。

(b){cn}为A不同的特征值的全体。

(c)R(Pn)为对应于cn的特征空间。

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第9题
设H为有限维Hilbert空间,A∈BL(H)。若 (i)A为自伴的或 (ii)A为正规的且数域K为 求证:存在纯量t1,t2,…,tm存

设H为有限维Hilbert空间,A∈BL(H)。若

(i)A为自伴的或

(ii)A为正规的且数域K为

求证:存在纯量t1,t2,…,tm存在Y1,Y2,…,Ym为两两正交的H的子空间,使得任取x∈H

x=y1+y2+…+ym, yi∈Yi

A(x)=t1y1+…+tmym

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第10题
设H=L2[0,1],其中数域。对x∈H,令 ,0≤s≤1 求证:A∈BL(H)为自伴的,求mA和MA

设H=L2[0,1],其中数域。对x∈H,令

,0≤s≤1

求证:A∈BL(H)为自伴的,求mA和MA

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第11题
设X=lp,其中1≤p≤∞,E为数域的紧子集。求证:存在A∈BL(X)使得A的谱为E。

设X=lp,其中1≤p≤∞,E为数域的紧子集。求证:存在A∈BL(X)使得A的谱为E。

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